BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3)

Se efectuează întâi paranteza: $4{,}9 - 3{,}4 = 1{,}5$. Apoi $1{,}5 : 3 = 0{,}5$ și, în final, $0{,}5 + 2{,}5 = 3$.

Barem: $(4{,}9 - 3{,}4) : 3 + 2{,}5 = 1{,}5 : 3 + 2{,}5$ (2p); $= 0{,}5 + 2{,}5 = 3$ (3p).

Punctul $A(-3a, a)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $f(-3a) = a$. Cum $f(-3a) = 2(-3a) - 21 = -6a - 21$, obținem $-6a - 21 = a$, adică $-7a = 21$, deci $a = -3$.

Barem: $f(-3a) = a$ (2p); $-6a - 21 = a$, de unde obținem $a = -3$ (3p).

Funcția logaritmică fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $1 + 2x - x^{2} = 3 - x$, adică $x^{2} - 3x + 2 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$. Ambele verifică condițiile de existență $1 + 2x - x^{2} > 0$ și $3 - x > 0$, deci convin.

Barem: $1 + 2x - x^{2} = 3 - x$, de unde obținem $x^{2} - 3x + 2 = 0$ (2p); $x = 1$ sau $x = 2$, care convin (3p).

Numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr, deci sunt $90$ de cazuri posibile. Multiplii de $11$ de două cifre sunt $11$, $22$, $33$, $44$, $55$, $66$, $77$, $88$ și $99$, dintre care impari sunt $11$, $33$, $55$, $77$ și $99$, adică $5$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{18}$.

Barem: mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2p); în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $5$ multipli impari de $11$, deci sunt $5$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{18}$ (3p).

Mijlocul segmentului $BC$ este $D\left(\dfrac{2 + 4}{2}, \dfrac{0 + 2}{2}\right) = D(3,1)$. Atunci $AD = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (1 - 5)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ și $AC = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$. Cum $AD = AC$, triunghiul $ADC$ este isoscel.

Barem: $D(3,1)$, $AD = 5$ (3p); $AC = 5$, deci triunghiul $ADC$ este isoscel (2p).

În triunghiul dreptunghic în $A$, $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{3}$, deci $AB = 3AC$. Aria este $\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{3AC^{2}}{2} = 24$, de unde $AC^{2} = 16$ și, cum $AC > 0$, $AC = 4$.

Barem: $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{3}$, deci $AB = 3AC$ (2p); $\dfrac{AB \cdot AC}{2} = 24$, deci $AC^{2} = 16$, de unde obținem $AC = 4$ (3p).

Pentru $a = 1$ obținem $A(1) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, deci $\det\big(A(1)\big) = 4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2) = 4 - 2 = 2$.

Barem: $A(1) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\det\big(A(1)\big) = 4 \cdot 1 - (-1)\cdot(-2)$ (3p); $= 4 - 2 = 2$ (2p).

$A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$, $A(2) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(-2) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$, deci $6I_{2} - A(2) - A(-2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$. Înmulțind, $A(0)\cdot\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I_{2}$, de unde $x = 4$.

Barem: $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$, $6I_{2} - A(2) - A(-2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ și $A(0)\cdot\big(6I_{2} - A(2) - A(-2)\big) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I_{2}$ (3p); $4I_{2} = xI_{2}$, de unde obținem $x = 4$ (2p).

Cum $\det\big(A(1)\big) = 2 \ne 0$, matricea $A(1)$ este inversabilă și $X = 4\big(A(1)\big)^{-1}\big(A(1)\big)^{-1}$. Avem $\big(A(1)\big)^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, deci $X = 4\begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{4} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{9}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$.

Barem: cum $\det\big(A(1)\big) \ne 0$, $X = 4\big(A(1)\big)^{-1}\cdot\big(A(1)\big)^{-1}$ (2p); $\big(A(1)\big)^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$ (3p).

$f(1) = 1^{3} - a \cdot 1 + 2 + a = 1 - a + 2 + a = 3$, termenii care conțin $a$ reducându-se pentru orice număr real $a$.

Barem: $f(1) = 1^{3} - a \cdot 1 + 2 + a$ (3p); $= 1 + 2 = 3$, pentru orice număr real $a$ (2p).

Conform teoremei lui Bézout, $g = X + 2$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(-2) = 0$. Cum $f(-2) = -8 + 2a + 2 + a = 3a - 6$, condiția devine $3a - 6 = 0$, deci $a = 2$.

Barem: $f(-2) = 3a - 6$, pentru orice număr real $a$ (3p); $3a - 6 = 0$, de unde obținem $a = 2$ (2p).

Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ și $x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = -a$. Fiecare rădăcină verifică $x_{k}^{3} = ax_{k} - 2 - a$, deci $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = a(x_{1} + x_{2} + x_{3}) - 3(2 + a) = -3a - 6$. Egalitatea din enunț devine $-3a - 6 = -a$, adică $2a = -6$, deci $a = -3$.

Barem: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$, $x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = -a$, pentru orice număr real $a$ (2p); din $f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) = 0$ rezultă $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = -3a - 6$, deci $-3a - 6 = -a$, de unde obținem $a = -3$ (3p).

Cu regula de derivare a produsului, $f'(x) = \left(e^{x}\right)'\left(2x^{2} - 3x\right) + e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right)' = e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right) + e^{x}(4x - 3) = e^{x}\left(2x^{2} + x - 3\right)$. Trinomul $2x^{2} + x - 3$ are rădăcinile $-\dfrac{3}{2}$ și $1$, deci $f'(x) = e^{x}(2x + 3)(x - 1)$.

Barem: $f'(x) = e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right) + e^{x}(4x - 3)$ (3p); $= e^{x}\left(2x^{2} + x - 3\right) = e^{x}(2x + 3)(x - 1)$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

Cum $f(0) = 0$, limita este de forma $\dfrac{0}{0}$. Aplicând regula lui l'Hôpital, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x) - x}{f(x) + x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x) - 1}{f'(x) + 1}$. Cum $f'(0) = e^{0}\cdot 3 \cdot(-1) = -3$, limita este $\dfrac{-3 - 1}{-3 + 1} = \dfrac{-4}{-2} = 2$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x) - x}{f(x) + x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\big(f(x) - x\big)'}{\big(f(x) + x\big)'}$ (2p); $= \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}(2x + 3)(x - 1) - 1}{e^{x}(2x + 3)(x - 1) + 1} = \dfrac{-3 - 1}{-3 + 1} = 2$ (3p).

Panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f'(a)$, deci condiția este $f'(a) = e^{a}(2a + 3)(a - 1) = 0$. Cum $e^{a} > 0$ pentru orice număr real $a$, rămâne $(2a + 3)(a - 1) = 0$, adică $a = -\dfrac{3}{2}$ sau $a = 1$.

Barem: $f'(a) = 0$, deci $e^{a}(2a + 3)(a - 1) = 0$ (3p); $a = -\dfrac{3}{2}$ sau $a = 1$ (2p).

Pentru orice $x \in (-1, +\infty)$, $\dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 1}} = 2x^{2} + 4x$. Aplicând formula Leibniz-Newton, $\displaystyle\int_{0}^{3}\left(2x^{2} + 4x\right)dx = \left(\dfrac{2x^{3}}{3} + 2x^{2}\right)\Big|_{0}^{3} = 18 + 18 = 36$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 1}}\, dx = \int_{0}^{3}\left(2x^{2} + 4x\right)dx = \dfrac{2x^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} + 2x^{2}\Big|_{0}^{3}$ (3p); $= 18 + 18 = 36$ (2p).

$\dfrac{x^{2} + 2x}{f(x)} = \dfrac{x^{2} + 2x}{2\left(x^{2} + 2x\right)\sqrt{x + 1}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}$, care este derivata funcției $x \mapsto \sqrt{x + 1}$. Prin urmare integrala este $\sqrt{x + 1}\Big|_{3}^{8} = 3 - 2 = 1$.

Barem: $\displaystyle\int_{3}^{8}\dfrac{x^{2} + 2x}{f(x)}\, dx = \int_{3}^{8}\dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}\, dx = \int_{3}^{8}\left(\sqrt{x + 1}\right)' dx = \sqrt{x + 1}\Big|_{3}^{8}$ (3p); $= 3 - 2 = 1$ (2p).

$g(x) = \dfrac{4\sqrt{x + 1}}{2\left(x^{2} + 2x\right)\sqrt{x + 1}} = \dfrac{2}{x^{2} + 2x} = \dfrac{2}{x(x + 2)} > 0$ pe $(0, +\infty)$, deci aria este $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\, dx$. Descompunând în fracții simple, $\dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}$, iar $\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}\right)dx = \ln\dfrac{x}{x + 2}\Big|_{1}^{4} = \ln\dfrac{4}{6} - \ln\dfrac{1}{3} = \ln 2$.

Barem: $g(x) = \dfrac{2}{x^{2} + 2x}$, $x \in (0, +\infty)$, deci $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\, dx = \int_{1}^{4}\dfrac{2}{x(x + 2)}\, dx = \int_{1}^{4}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}\right)dx$ (3p); $= \ln x\Big|_{1}^{4} - \ln(x + 2)\Big|_{1}^{4} = \ln 2$ (2p).