Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Matrice și operații cu matrice

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Dimensiunea unei matrice

O matrice cu $m$ linii și $n$ coloane are dimensiunea $m \times n$ ; elementul $a_{ij}$ se află pe linia $i$ și coloana $j$ .

A = (a_{ij}) \in M_{m,n}(\mathbb{R})

Idee

Matrice cu nume special

Tipuri de matrice de reținut:

matrice linie ( $1 \times n$ ) și coloană ( $m \times 1$ )
matrice pătratică ( $n \times n$ )
matricea nulă $O$ (toate elementele 0)
matricea unitate $I_n$ (1 pe diagonală, 0 în rest)

Formulă

Adunarea și înmulțirea cu scalar

Adunarea (doar la matrice de aceeași dimensiune) și înmulțirea cu scalar se fac element cu element:

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}

Sfat

Scalarul nu schimbă dimensiunea

Atenție: înmulțirea cu un scalar $k$ nu modifică dimensiunea. Dacă $A$ este $m \times n$ , atunci $kA$ rămâne tot $m \times n$ ; doar valorile elementelor se schimbă.

Formulă

Regula linie pe coloană

Produsul $AB$ există doar dacă coloanele primei matrice sunt egale ca număr cu liniile celei de-a doua. Elementul de pe poziția $(i,j)$ este linia $i$ din $A$ combinată cu coloana $j$ din $B$ :

(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj}

Sfat

Dimensiunea produsului

O matrice $m \times n$ înmulțită cu o matrice $n \times p$ dă un produs de dimensiune $m \times p$ : liniile vin din prima, coloanele din a doua, iar dimensiunile interioare ( $n$ ) trebuie să coincidă.

Idee

Proprietățile operațiilor

Adunarea este comutativă și asociativă, cu element neutru $O$ . Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, cu element neutru $I_n$ , dar nu este comutativă.

Sfat

AB diferit de BA și divizori ai lui zero

Capcană: în general $AB \neq BA$ , deci ordinea contează. Mai mult, pot exista matrice nenule cu $AB = O$ (divizori ai lui zero), spre deosebire de numerele reale.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.2din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricele $I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 4 - x & x \\ -x & 1 - x \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

Determinați numărul real $a$ pentru care $3A(2) - A(4) = 2A(a)$ .

Vezi rezolvarea

$3A(2) = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}$ și $A(4) = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$ , deci $3A(2) - A(4) = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ . Cum $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , avem $\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 2A(1)$ , deci $a = 1$ .

Subiectul II.1.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricele $I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 2 & -a \\ a - 3 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $a$ este număr real.

Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0) \cdot \big(6I_{2} - A(2) - A(-2)\big) = xI_{2}$ .

Vezi rezolvarea

$A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ , $A(2) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(-2) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$ , deci $6I_{2} - A(2) - A(-2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ . Înmulțind, $A(0)\cdot\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I_{2}$ , de unde $x = 4$ .

Subiectul II.1.bdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x - 1 & 2 \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

Arătați că $2A(1) + A(4) = 3A(2)$ .

Vezi rezolvarea

$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , deci $2A(1) + A(4) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ . Cum $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , avem $3A(2) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ , deci egalitatea este adevărată.

Subiectul II.1.bdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

Arătați că $A(x)\cdot A(y) = 2A(x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Vezi rezolvarea

Înmulțind cele două matrice se obține $A(x)\cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4 - 6x - 6y & 0 & 2x + 2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x - 18y & 0 & 4 + 6x + 6y \end{pmatrix}$ . Dând factor comun $2$ pe fiecare element, matricea devine $2A(x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Toate lecțiile de Matematică

Matrice și operații cu matrice

Pe scurt

Dimensiunea unei matrice

Matrice cu nume special

Adunarea și înmulțirea cu scalar

Scalarul nu schimbă dimensiunea

Regula linie pe coloană

Dimensiunea produsului

Proprietățile operațiilor

AB diferit de BA și divizori ai lui zero

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.