Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Geometrie analitică în plan

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Distanța dintre două puncte

Distanța dintre $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic:

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Formulă

Mijlocul unui segment

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele medii ale capetelor:

M\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Formulă

Panta și ecuația dreptei

Panta prin două puncte și ecuația prin punct cu pantă:

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \qquad y - y_0 = m(x - x_0)

Idee

Forma generală a dreptei

Orice dreaptă se scrie $ax + by + c = 0$ . Când $b \neq 0$ , panta ei este $m = -\dfrac{a}{b}$ .

Formulă

Paralele și perpendiculare

Relațiile dintre pante decid poziția a două drepte:

d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2, \qquad d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1

Sfat

Atenție la dreptele verticale

O dreaptă verticală $x = k$ nu are pantă, deci regula $m_1 \cdot m_2 = -1$ nu se aplică direct: o verticală este perpendiculară exact pe orice dreaptă orizontală $y = c$ .

Formulă

Distanța de la punct la dreaptă

Adu dreapta la forma $ax + by + c = 0$ , apoi:

d(M, d) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Formulă

Aria unui triunghi și coliniaritatea

\mathcal{A} = \frac{1}{2}\left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|

Dacă $\mathcal{A} = 0$ , punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.5din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,6)$ , $B(4,1)$ și $C(5,a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

Vezi rezolvarea

$m_{OA} = \dfrac{6 - 0}{3 - 0} = 2$ și $m_{BC} = \dfrac{a - 1}{5 - 4} = a - 1$ . Două drepte neverticale sunt paralele dacă și numai dacă au aceeași pantă, deci $a - 1 = 2$ , de unde $a = 3$ .

Subiectul I.5din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$ , $B(6,2)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OB$ . Arătați că $AC = \sqrt{2}$ .

Vezi rezolvarea

Cum $O(0,0)$ și $B(6,2)$ , mijlocul segmentului $OB$ este $C(3,1)$ . Atunci $AC = \sqrt{(4 - 3)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .

Subiectul I.5din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ , $B(2,0)$ și $C(4,2)$ . Arătați că triunghiul $ADC$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Vezi rezolvarea

Mijlocul segmentului $BC$ este $D\left(\dfrac{2 + 4}{2}, \dfrac{0 + 2}{2}\right) = D(3,1)$ . Atunci $AD = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (1 - 5)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ și $AC = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$ . Cum $AD = AC$ , triunghiul $ADC$ este isoscel.

Subiectul I.5din BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ , $M(2,4)$ și $B(a,b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Vezi rezolvarea

Coordonatele mijlocului segmentului $AB$ sunt $\left(\dfrac{1 + a}{2}, \dfrac{1 + b}{2}\right)$ . Din $\dfrac{1 + a}{2} = 2$ obținem $a = 3$ , iar din $\dfrac{1 + b}{2} = 4$ obținem $b = 7$ .

Toate lecțiile de Matematică

Geometrie analitică în plan

Pe scurt

Distanța dintre două puncte

Mijlocul unui segment

Panta și ecuația dreptei

Forma generală a dreptei

Paralele și perpendiculare

Atenție la dreptele verticale

Distanța de la punct la dreaptă

Aria unui triunghi și coliniaritatea

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.