BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3)

$z + 2i = 3 - i + 2i = 3 + i$, deci $z(z + 2i) = (3 - i)(3 + i) = 3^{2} - i^{2} = 9 - (-1) = 10$.

Barem: $z(z + 2i) = (3 - i)(3 + i) = 9 - i^{2}$ (2p); $= 9 - (-1) = 10$ (3p).

$f(a) = 3a - 4$ și $f(-2a) = 3(-2a) - 4 = -6a - 4$. Condiția devine $(3a - 4) + (-6a - 4) = a$, adică $-3a - 8 = a$, de unde $4a = -8$, deci $a = -2$.

Barem: $f(a) = 3a - 4$ și $f(-2a) = -6a - 4$, pentru orice număr real $a$ (3p); $3a - 4 - 6a - 4 = a$, de unde obținem $a = -2$ (2p).

Condiția de existență este $x \ge -1$. Ridicând ambii membri la pătrat, $x^{2} + 7 = 4(x + 1)$, adică $x^{2} - 4x + 3 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = 3$. Ambele respectă condiția de existență și verifică ecuația inițială.

Barem: $x^{2} + 7 = 4(x + 1)$, de unde obținem $x^{2} - 4x + 3 = 0$ (2p); $x = 1$ sau $x = 3$, care convin (3p).

O submulțime cu trei elemente care conține $5$ este determinată de celelalte două elemente ale sale, alese din $A \setminus \{5\} = \{1,\, 2,\, 3,\, 7\}$. Numărul lor este $C_{4}^{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Barem: numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii $A$ care conțin elementul $5$ este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii $A \setminus \{5\}$ (3p); mulțimea $A \setminus \{5\}$ are $6$ submulțimi cu exact două elemente (2p).

$m_{OA} = \dfrac{6 - 0}{3 - 0} = 2$ și $m_{BC} = \dfrac{a - 1}{5 - 4} = a - 1$. Două drepte neverticale sunt paralele dacă și numai dacă au aceeași pantă, deci $a - 1 = 2$, de unde $a = 3$.

Barem: $m_{OA} = 2$ (2p); $m_{BC} = a - 1$ și, cum $m_{OA} = m_{BC}$, obținem $a = 3$ (3p).

Pentru $x = \dfrac{\pi}{3}$ avem $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, deci $1 + \operatorname{tg}^{2}\dfrac{\pi}{3} = 1 + 3 = 4$. Apoi $\sin\dfrac{x}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ și $\cos 3x = \cos\pi = -1$. Prin urmare $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Barem: $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, $\cos\pi = -1$ (3p); $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1 + \left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2} + (-1) = 4\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 1$ (2p).

$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Cu regula lui Sarrus, $\det\big(A(1)\big) = 1\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 0 + 1\cdot 1\cdot 2 - 0\cdot 3\cdot 1 - 2\cdot 1\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 1 = 3 + 0 + 2 - 0 - 2 - 1 = 2$.

Barem: $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2p); $\det\big(A(1)\big) = 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2$ (3p).

Dezvoltând determinantul matricei sistemului, $\det\big(A(a)\big) = a^{2} - 2a + 3$. Scriind $a^{2} - 2a + 3 = (a - 1)^{2} + 2 \ge 2 > 0$, determinantul este nenul pentru orice număr real $a$, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Barem: $\det\big(A(a)\big) = a^{2} - 2a + 3$, pentru orice număr real $a$ (3p); $\det\big(A(a)\big) = (a - 1)^{2} + 2 \ne 0$ pentru orice număr real $a$, deci sistemul are soluție unică (2p).

Din a treia ecuație $z = -2y$; înlocuind în primele două se obține $x = \dfrac{3 - 2a}{a^{2} - 2a + 3}$ și $z = \dfrac{2a}{a^{2} - 2a + 3}$. Condiția $z_{0} = nx_{0}$ devine $2a = n(3 - 2a)$. Cum $a$ este număr natural nenul, $2a > 0$, deci $3 - 2a > 0$, adică $a < \dfrac{3}{2}$. Rămâne $a = 1$, pentru care $n = 2$ este număr natural, deci $a = 1$ convine.

Barem: $2a = n(3 - 2a)$, unde $a$ și $n$ sunt numere naturale, $a$ nenul (3p); $3 - 2a > 0$ și, cum $a$ este număr natural nenul, obținem $a = 1$, care convine (2p).

$0 \ast 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3 = \dfrac{2}{3}\cdot(-3)\cdot(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$.

Barem: $0 \ast 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3$ (3p); $= 2 + 3 = 5$ (2p).

$x \ast \dfrac{3x}{2} = \dfrac{2}{3}(x - 3)\left(\dfrac{3x}{2} - 3\right) + 3 = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}(x - 3)(x - 2) + 3 = x^{2} - 5x + 6 + 3 = x^{2} - 5x + 9$. Ecuația devine $x^{2} - 5x + 9 = 5x$, adică $x^{2} - 10x + 9 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = 9$.

Barem: $x \ast \dfrac{3x}{2} = x^{2} - 5x + 9$, pentru orice număr real $x$ (2p); $x^{2} - 5x + 9 = 5x$, de unde obținem $x = 1$ sau $x = 9$ (3p).

Legea fiind asociativă, $m \ast m = \dfrac{2}{3}(m - 3)^{2} + 3$ și $m \ast m \ast n = \dfrac{4}{9}(m - 3)^{2}(n - 3) + 3$. Ecuația $m \ast m \ast n = -1$ devine $(m - 3)^{2}(n - 3) = -9$. Cum $(m - 3)^{2} \ge 0$, trebuie ca $n < 3$, iar $(m - 3)^{2}$ este pătrat perfect și divide $9$: pentru $(m - 3)^{2} = 1$ ar rezulta $n = -6$, care nu este număr natural, iar pentru $(m - 3)^{2} = 9$ se obține $n - 3 = -1$, deci $n = 2$ și $m \in \{0, 6\}$. Perechile căutate sunt $(0, 2)$ și $(6, 2)$.

Barem: $m \ast m = \dfrac{2}{3}(m - 3)^{2} + 3$ și $m \ast m \ast n = \dfrac{4}{9}(m - 3)^{2}(n - 3) + 3$, pentru orice numere naturale $m$ și $n$ (2p); $\dfrac{4}{9}(m - 3)^{2}(n - 3) + 3 = -1 \iff (m - 3)^{2}(n - 3) = -9$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(0, 2)$ și $(6, 2)$ (3p).

Cu regula de derivare a câtului, $f'(x) = \dfrac{\left(x^{3} - 4x\right)'\left(x^{2} + 5\right) - \left(x^{3} - 4x\right)\left(x^{2} + 5\right)'}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = \dfrac{\left(3x^{2} - 4\right)\left(x^{2} + 5\right) - \left(x^{3} - 4x\right)\cdot 2x}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}}$. Numărătorul este $3x^{4} + 15x^{2} - 4x^{2} - 20 - 2x^{4} + 8x^{2} = x^{4} + 19x^{2} - 20 = \left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 20\right)$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{\left(3x^{2} - 4\right)\left(x^{2} + 5\right) - \left(x^{3} - 4x\right)\cdot 2x}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}}$ (3p); $= \dfrac{x^{4} + 19x^{2} - 20}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = \dfrac{\left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 20\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

$f(x) - x = \dfrac{x^{3} - 4x - x\left(x^{2} + 5\right)}{x^{2} + 5} = \dfrac{-9x}{x^{2} + 5}$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^{2} + 5} = 0$. Cum panta este $1$ și ordonata la origine a asimptotei este $0$, dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - x\big) =$ (2p); $= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^{2} + 5} = 0$, deci dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3p).

Semnul lui $f'$ este dat de $x^{2} - 1$, deci $f$ crește pe $(-\infty, -1)$, scade pe $(-1, 1)$ și crește pe $(1, +\infty)$, cu maximul local $f(-1) = \dfrac{1}{2}$ și minimul local $f(1) = -\dfrac{1}{2}$. Cum $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, dreapta $y = m$ taie graficul în trei puncte exact când $m$ este strict între cele două valori extreme, adică $m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = -1$ sau $x = 1$; $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, -1)$, strict descrescătoare pe $(-1, 1)$ și strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ (2p); $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$, $f(-1) = \dfrac{1}{2}$, $f(1) = -\dfrac{1}{2}$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, de unde ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții dacă și numai dacă $m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ (3p).

$f(x)\, x\ln x = \dfrac{x^{2} - 4}{x\ln x}\cdot x\ln x = x^{2} - 4$ pentru orice $x \in (1, +\infty)$. Aplicând formula Leibniz-Newton, $\displaystyle\int_{2}^{3}\left(x^{2} - 4\right)dx = \left(\dfrac{x^{3}}{3} - 4x\right)\Big|_{2}^{3} = (9 - 12) - \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) = -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}$.

Barem: $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\, x\ln x\, dx = \int_{2}^{3}\left(x^{2} - 4\right)dx = \left(\dfrac{x^{3}}{3} - 4x\right)\Big|_{2}^{3}$ (3p); $= -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}$ (2p).

$\dfrac{f(x)}{x^{2} - 4} = \dfrac{1}{x\ln x}$ pentru orice $x \in (1, +\infty)$. Cu substituția $t = \ln x$, $dt = \dfrac{1}{x}dx$, integrala devine $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{t}\, dt = \ln t\Big|_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

Barem: $\displaystyle\int_{e}^{e^{2}}\dfrac{f(x)}{x^{2} - 4}\, dx = \int_{e}^{e^{2}}\dfrac{1}{x\ln x}\, dx = \int_{e}^{e^{2}}\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}\, dx = \ln(\ln x)\Big|_{e}^{e^{2}}$ (3p); $= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ (2p).

Cum $F(2) = 0$, limita este de forma $\dfrac{0}{0}$. Aplicând regula lui l'Hôpital și teorema de derivare a integralei cu limită variabilă, $\left(\displaystyle\int_{2}^{x}(t - 2)F(t)\, dt\right)' = (x - 2)F(x)$ și $\left(F^{2}(x)\right)' = 2F(x)F'(x) = 2F(x)f(x)$. Raportul se simplifică prin $F(x)$ și rămâne $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x - 2}{2f(x)} = \lim_{x\to 2}\dfrac{(x - 2)\, x\ln x}{2\left(x^{2} - 4\right)} = \lim_{x\to 2}\dfrac{x\ln x}{2(x + 2)} = \dfrac{2\ln 2}{8} = \dfrac{\ln 2}{4}$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\int_{2}^{x}(t - 2)F(t)\, dt}{F^{2}(x)} = \lim_{x\to 2}\dfrac{\left(\int_{2}^{x}(t - 2)F(t)\, dt\right)'}{\left(F^{2}(x)\right)'} = \lim_{x\to 2}\dfrac{(x - 2)F(x)}{2F(x)f(x)}$ (3p); $= \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x - 2}{2f(x)} = \lim_{x\to 2}\dfrac{x\ln x}{2(x + 2)} = \dfrac{\ln 2}{4}$ (2p).