BAC Matematică M_mate-info - iunie 2024 (Varianta 10)

$\lg 100 = 2$, deci $2\lg 100 = 4$. Cum $\lg 2 + \lg 5 = \lg(2\cdot 5) = \lg 10 = 1$, obținem $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 4 + 1 = 5$.

Barem: $2\lg 100 = 2\cdot 2 = 4$ și $\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$ (3p); rezultat final $4 + 1 = 5$ (2p).

$f(a) = a - 6$ și $f(3a) = 3a - 6$. Condiția $f(a) + f(3a) = 0$ devine $(a-6) + (3a-6) = 0$, adică $4a - 12 = 0$, deci $a = 3$.

Barem: $f(a) = a - 6$ și $f(3a) = 3a - 6$ (3p); $a - 6 + 3a - 6 = 0$, de unde obținem $a = 3$ (2p).

$5^{3x}\cdot 5^{2} = 5^{3x+2}$, deci ecuația devine $5^{3x+2} = 5^{x}$. Funcția exponențială fiind injectivă, $3x + 2 = x$, adică $2x = -2$, de unde $x = -1$.

Barem: $5^{3x+2} = 5^{x}$, de unde obținem $3x + 2 = x$ (3p); $x = -1$ (2p).

Numerele pare din $A$ sunt $2, 4, 6, 8$, deci $4$ elemente. O submulțime cu două elemente pare se obține alegând $2$ din aceste $4$ numere: $C_4^2 = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6$.

Barem: în mulțimea $A$ sunt $4$ numere pare (2p); sunt $C_4^2 = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6$ submulțimi cu două elemente, ambele numere pare (3p).

$\overrightarrow{AC} = (x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j}$ și $\overrightarrow{OB} = (3-0)\vec{i} + (0-0)\vec{j} = 3\vec{i}$. Egalitatea $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}$ dă $x_C - 3 = 3$ și $y_C - 1 = 0$, deci $C(6, 1)$.

Barem: $\overrightarrow{AC} = (x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j}$ și $\overrightarrow{OB} = 3\vec{i}$ (3p); din $(x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j} = 3\vec{i}$ obținem $x_C = 6$ și $y_C = 1$ (2p).

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $B = \dfrac{\pi}{4}$, deci și $C = \dfrac{\pi}{4}$; triunghiul este isoscel, cu $AB = AC$. Aria fiind $\dfrac{AB\cdot AC}{2} = 18$, obținem $AB^2 = 36$, deci $AB = 6$.

Barem: din $B = \dfrac{\pi}{4}$ rezultă triunghiul isoscel, deci $AB = AC$ (2p); $\dfrac{AB\cdot AC}{2} = 18$, deci $AB^2 = 36$, de unde obținem $AB = 6$ (3p).

$M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Dezvoltând după prima coloană, $\det(M(1)) = 1\cdot(3\cdot 3 - 1\cdot 2) = 9 - 2 = 7$.

Barem: $M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (2p); $\det(M(1)) = 1\cdot(3\cdot 3 - 1\cdot 2) = 7$ (3p).

$M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$ și $M(x)\cdot M(2) = \begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 8x+8 & 6x+4 \\ 0 & 12x+8 & 8x+8 \end{pmatrix}$. Cum $M(x-1) = \begin{pmatrix} x-1 & 0 & 0 \\ 0 & x+1 & x-1 \\ 0 & 2x-2 & x+1 \end{pmatrix}$, identificând elementele obținem $x = -1$.

Barem: se calculează $M(x)\cdot M(2)$ (3p); din egalitatea cu $M(x-1)$ se obține $x = -1$ (2p).

$\det(M(n)) = n\big((n+2)^2 - 2n\cdot n\big) = n(-n^2 + 4n + 4)$; analog $\det(M(2n)) = 2n(-4n^2 + 8n + 4)$. Inegalitatea $2\det(M(n)) \le \det(M(2n))$ devine $2n(-n^2+4n+4) \le 2n(-4n^2+8n+4)$, adică $n^2(3n-4) \le 0$. Cum $n$ este natural, rezultă $n = 0$ sau $n = 1$.

Barem: $\det(M(n)) = n(-n^2 + 4n + 4)$ și $\det(M(2n)) = 2n(-4n^2 + 8n + 4)$ (2p); $2n(-n^2+4n+4) \le 2n(-4n^2+8n+4)$, de unde $n^2(3n-4) \le 0$ și, cum $n$ este natural, $n \in \{0, 1\}$ (3p).

$f(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 - a\cdot 2 + 2a = 8 - 8 - 2a + 2a = 0$, pentru orice număr real $a$.

Barem: $f(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 - a\cdot 2 + 2a$ (3p); $= 8 - 8 - 2a + 2a = 0$, pentru orice număr real $a$ (2p).

Pentru $a = 1$, $f = X^3 - 2X^2 - X + 2$. Cum $f(-1) = -1 - 2 + 1 + 2 = 0$, conform teoremei lui Bézout $f$ este divizibil cu $X - (-1) = X + 1$.

Barem: pentru $a = 1$, $f = X^3 - 2X^2 - X + 2$ și $f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2$ (3p); $= -1 - 2 + 1 + 2 = 0$, deci $f$ este divizibil cu $g = X + 1$ (2p).

$f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a = X^2(X-2) - a(X-2) = (X-2)(X^2 - a)$. Pentru $a > 0$, rădăcinile sunt $x_1 = 2$ și $x_{2,3} = \pm\sqrt{a}$, deci $|x_1| + |x_2| + |x_3| = 2 + 2\sqrt{a}$. Din $2 + 2\sqrt{a} = 8$ rezultă $\sqrt{a} = 3$, deci $a = 9$.

Barem: $f = (X - 2)(X^2 - a)$, deci $x_1 = 2$ și $x_{2,3} = \pm\sqrt{a}$, de unde $|x_1| + |x_2| + |x_3| = 2 + 2\sqrt{a}$ (3p); $2 + 2\sqrt{a} = 8$, de unde obținem $a = 9$ (2p).

$f'(x) = \big(e^{x}(2x-4)\big)' + (x^2 - 2x + 4)' = e^{x}(2x-4) + 2e^{x} + 2x - 2 = e^{x}(2x-2) + (2x-2) = 2(x-1)(e^{x}+1)$.

Barem: $f'(x) = e^{x}(2x-4) + 2e^{x} + 2x - 2$ (3p); $= e^{x}(2x-2) + 2x - 2 = 2(x-1)(e^{x}+1)$ (2p).

$f(0) = e^{0}(-4) + 4 = 0$ și $1 - e^{0} = 0$, deci limita este de forma $\frac{0}{0}$. Aplicând regula lui l'Hôpital, $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{1-e^{x}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{2(x-1)(e^{x}+1)}{-e^{x}} = \dfrac{2(-1)(2)}{-1} = 4$.

Barem: cum $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$, se aplică regula lui l'Hôpital: $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{1-e^{x}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{(1-e^{x})'}$ (3p); $= \lim_{x\to 0}\dfrac{2(x-1)(e^{x}+1)}{-e^{x}} = 4$ (2p).

Cum $f'(x) = 2(x-1)(e^{x}+1)$ și $e^{x} + 1 > 0$, avem $f'(x) = 0 \iff x = 1$, $f'(x) < 0$ pe $(-\infty, 1)$ și $f'(x) > 0$ pe $(1, +\infty)$. Deci $f$ scade pe $(-\infty, 1)$ și crește pe $(1, +\infty)$, cu minimul $f(1) = 3 - 2e < 0$. Cum $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, graficul intersectează axa $Ox$ în exact două puncte.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = 1$; $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 1)$ și strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ (2p); $\lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$, $f(1) = 3 - 2e < 0$, $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ continuă, deci ecuația $f(x) = 0$ are exact două soluții (3p).

$f(x)(3x^2+1) = \dfrac{4x}{3x^2+1}(3x^2+1) = 4x$. Atunci $\int_3^4 4x\,dx = 2x^2\big|_3^4 = 2\cdot 16 - 2\cdot 9 = 32 - 18 = 14$.

Barem: $f(x)(3x^2+1) = 4x$, deci $\int_3^4 4x\,dx = 2x^2\big|_3^4$ (3p); $= 32 - 18 = 14$ (2p).

$\int_0^1 \dfrac{4x}{3x^2+1}\,dx = \dfrac{2}{3}\int_0^1 \dfrac{6x}{3x^2+1}\,dx = \dfrac{2}{3}\ln(3x^2+1)\big|_0^1 = \dfrac{2}{3}(\ln 4 - \ln 1) = \dfrac{2}{3}\ln 4 = \dfrac{4}{3}\ln 2$.

Barem: $\int_0^1 \dfrac{4x}{3x^2+1}\,dx = \dfrac{2}{3}\int_0^1 \dfrac{(3x^2+1)'}{3x^2+1}\,dx = \dfrac{2}{3}\ln(3x^2+1)\big|_0^1$ (3p); $= \dfrac{2}{3}\ln 4 = \dfrac{4}{3}\ln 2$ (2p).

$g(x) = \dfrac{4\ln x}{f(x)} = \dfrac{4\ln x (3x^2+1)}{4x} = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x$, care este $\ge 0$ pe $[1, e]$. Deci $\mathcal{A} = \int_1^e \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x\,dx$. Integrând prin părți cu $\left(\dfrac{3x^2}{2} + \ln x\right)' = 3x + \dfrac{1}{x}$, se obține $\mathcal{A} = 3\left(\dfrac{x^2\ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4}\right)\Big|_1^e + \dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \dfrac{3e^2}{4} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3e^2 + 5}{4}$.

Barem: $g(x) = \dfrac{(3x^2+1)\ln x}{x} = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x \ge 0$ pe $[1, e]$, deci $\mathcal{A} = \int_1^e \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x\,dx$; se integrează prin părți (3p); $= \dfrac{3e^2 + 5}{4}$ (2p).