BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2025 (Varianta 1)

Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea.

$$3 \cdot (1{,}5 - 0{,}3) + 0{,}8 : 2 = 3 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 = 3{,}6 + 0{,}4 = 4.$$

Se cere să se arate că 3·(1,5 - 0,3) + 0,8 : 2 = 4. Barem: 3 puncte pentru efectuarea operațiilor din paranteză și a împărțirii (3·1,2 + 0,4), 2 puncte pentru finalizare (3,6 + 0,4 = 4).

Calculăm valorile funcției:

$$f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7, \qquad f(a) = 2a + 1 \text{ pentru orice număr real } a.$$

Condiția din enunț devine

$$2a + 1 = 7 - a \;\Longleftrightarrow\; 3a = 6 \;\Longleftrightarrow\; a = 2.$$

Se cere numărul real a pentru care f(a) = f(3) - a, unde f(x) = 2x + 1. Barem: 3 puncte pentru f(3) = 7 și f(a) = 2a + 1; 2 puncte pentru rezolvarea ecuației 2a + 1 = 7 - a, de unde a = 2.

Funcția logaritmică este injectivă, deci egalitatea logaritmilor în aceeași bază înseamnă egalitatea argumentelor:

$$5x - 12 = 2x \;\Longleftrightarrow\; 3x = 12 \;\Longleftrightarrow\; x = 4.$$

Verificarea condițiilor de existență: pentru $x = 4$ avem $5x - 12 = 8 > 0$ și $2x = 8 > 0$, deci soluția convine. Mulțimea soluțiilor este $\{4\}$.

Se cere rezolvarea ecuației log₂(5x - 12) = log₂(2x). Barem: 3 puncte pentru 5x - 12 = 2x, 2 puncte pentru x = 4, care convine.

Notăm cu $x$ prețul dinainte de scumpire. După o scumpire cu $35\%$, prețul devine $x + \frac{35}{100} x$, deci

$$x + \frac{35}{100} x = 54 \;\Longleftrightarrow\; 1{,}35 x = 54 \;\Longleftrightarrow\; x = 40 \text{ lei}.$$

Capcana clasică este să scazi $35\%$ din 54 (ceea ce ar da 35,1 lei): procentul se aplică prețului inițial, cel necunoscut, nu celui final.

Se cere prețul inițial al unui obiect care, după o scumpire cu 35%, costă 54 de lei. Barem: 3 puncte pentru ecuația x + 35/100 · x = 54, unde x este prețul inițial; 2 puncte pentru x = 40 de lei.

Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele mediilor:

$$M\left(\frac{2 + 4}{2},\, \frac{5 + 1}{2}\right) = M(3,3).$$

Calculăm cele două distanțe cu formula distanței dintre două puncte:

$$OM = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2},$$

$$CM = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}.$$

Cele două distanțe sunt egale, deci $OM = CM$ - punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $OC$.

Se cere să se arate că OM = CM, unde M este mijlocul segmentului AB, A(2,5), B(4,1), C(6,0). Barem: 3 puncte pentru M(3,3) și OM = 3√2; 2 puncte pentru CM = 3√2 și concluzie.

Din relația $5 \cdot AB = 4 \cdot BC$ obținem ipotenuza:

$$BC = \frac{5 \cdot 16}{4} = 20.$$

Triunghiul fiind dreptunghic în $A$, ipotenuza este $BC$, iar teorema lui Pitagora dă

$$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \;\Rightarrow\; AC = 12.$$

Este triunghiul dreptunghic $12 - 16 - 20$, adică $3 - 4 - 5$ mărit de patru ori.

Se cere să se arate că AC = 12 într-un triunghi ABC dreptunghic în A, cu AB = 16 și 5·AB = 4·BC. Barem: 2 puncte pentru BC = 20, 3 puncte pentru aplicarea teoremei lui Pitagora (AC² = 400 - 256 = 144) și AC = 12.

Înlocuim direct în definiția legii:

$$0 \ast 2 = 0 \cdot 2 - 6(0 + 2) + 14 = 0 - 12 + 14 = 2.$$

Pentru legea x ∗ y = xy - 6(x + y) + 14, se cere să se arate că 0 ∗ 2 = 2. Barem: 3 puncte pentru înlocuirea în lege (0·2 - 6(0 + 2) + 14), 2 puncte pentru finalizare (0 - 12 + 14 = 2).

Calculăm compunerea în ordinea inversă, pentru orice numere reale $x$ și $y$:

$$y \ast x = yx - 6(y + x) + 14 = xy - 6(x + y) + 14 = x \ast y,$$

folosind comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale. Deci legea „$\ast$" este comutativă.

Se cere demonstrarea comutativității legii x ∗ y = xy - 6(x + y) + 14. Barem: 3 puncte pentru y ∗ x = yx - 6(y + x) + 14; 2 puncte pentru identificarea cu x ∗ y și concluzie.

Calculăm compunerea, pentru orice număr real $x$:

$$x \ast 4 = 4x - 6(x + 4) + 14 = 4x - 6x - 24 + 14 = -2x - 10.$$

Ecuația devine

$$-2x - 10 = 4 \;\Longleftrightarrow\; -2x = 14 \;\Longleftrightarrow\; x = -7.$$

Se cere numărul real x pentru care x ∗ 4 = 4. Barem: 3 puncte pentru x ∗ 4 = -2x - 10, 2 puncte pentru rezolvarea ecuației -2x - 10 = 4, de unde x = -7.

Calculăm cei doi membri, pentru orice numere naturale $m$ și $n$:

$$(-m) \ast (-n) = (-m)(-n) - 6(-m - n) + 14 = mn + 6(m + n) + 14,$$

$$(m \ast n) + 36 = mn - 6(m + n) + 14 + 36.$$

Egalându-le, termenii $mn$ și $14$ se reduc:

$$6(m + n) = -6(m + n) + 36 \;\Longleftrightarrow\; 12(m + n) = 36 \;\Longleftrightarrow\; m + n = 3.$$

Perechile de numere naturale cu suma 3 și $m < n$ sunt

$$(m,n) \in \{(0,3),\, (1,2)\}.$$

Se cere determinarea perechilor (m,n) de numere naturale cu m < n pentru care (-m) ∗ (-n) = (m ∗ n) + 36. Barem: 2 puncte pentru (-m) ∗ (-n) = mn + 6(m + n) + 14; 3 puncte pentru ecuația mn + 6(m+n) + 14 = mn - 6(m+n) + 14 + 36, deci m + n = 3, de unde perechile (0,3) și (1,2).

Aplicăm legea, folosind că suma celor doi factori este $2$, iar produsul lor este o diferență de pătrate:

$$(1 + 3^x) \ast (1 - 3^x) = (1 + 3^x)(1 - 3^x) - 6 \cdot 2 + 14 = 1 - 3^{2x} + 2 = 3 - 3^{2x}.$$

Ecuația devine

$$3 - 3^{2x} = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3^{2x} = 3^1 \;\Longleftrightarrow\; 2x = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{1}{2}.$$

Se cere numărul real x pentru care (1 + 3^x) ∗ (1 - 3^x) = 0. Barem: 3 puncte pentru (1 + 3^x) ∗ (1 - 3^x) = -3^(2x) + 3; 2 puncte pentru 3^(2x) = 3, de unde x = 1/2.

Aplicăm legea, cu $x \cdot \frac{1}{x} = 1$:

$$x \ast \frac{1}{x} = 1 - 6\left(x + \frac{1}{x}\right) + 14 = 15 - \frac{6(x^2 + 1)}{x}.$$

Scriem expresia ca $3$ plus o cantitate negativă:

$$15 - \frac{6(x^2 + 1)}{x} = 3 + \frac{12x - 6x^2 - 6}{x} = 3 - \frac{6(x^2 - 2x + 1)}{x} = 3 - \frac{6(x - 1)^2}{x}.$$

Pentru $x \in (0, +\infty)$, fracția $\frac{6(x-1)^2}{x}$ este mai mare sau egală cu zero (numărătorul este un pătrat, numitorul este pozitiv), deci

$$x \ast \frac{1}{x} = 3 - \frac{6(x-1)^2}{x} \le 3,$$

cu egalitate pentru $x = 1$.

Se cere să se arate că x ∗ 1/x ≤ 3 pentru orice x > 0, unde x ∗ y = xy - 6(x + y) + 14. Barem: 2 puncte pentru x ∗ 1/x = 15 - 6(x² + 1)/x; 3 puncte pentru scrierea sub forma 3 - 6(x - 1)²/x și concluzie.

Pentru $x = 1$ matricea devine

$$M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$$

iar determinantul ei este

$$\det (M(1)) = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1.$$

Se cere calculul determinantului matricei M(1), unde M(x) = ((2, 3x),(x, 2)). Barem: 3 puncte pentru M(1) = ((2,3),(1,2)) și dezvoltarea determinantului (2·2 - 3·1), 2 puncte pentru finalizare (4 - 3 = 1).

Calculăm membrul stâng:

$$M(1) + 2M(4) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 27 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}.$$

Dând factor comun 3:

$$\begin{pmatrix} 6 & 27 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 3M(3),$$

pentru că $M(3) = \begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.

Se cere să se arate că M(1) + 2M(4) = 3M(3). Barem: 3 puncte pentru calculul sumei ((2,3),(1,2)) + ((4,24),(8,4)) = ((6,27),(9,6)); 2 puncte pentru scrierea rezultatului ca 3·((2,9),(3,2)) = 3M(3).

Scriem cele două matrice și le înmulțim:

$$M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad M(-2) = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix},$$

$$M(2) \cdot M(-2) = \begin{pmatrix} 4 - 12 & -12 + 12 \\ 4 - 4 & -12 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} = -8 I_2.$$

Din $a I_2 = -8 I_2$ rezultă

$$a = -8.$$

Se cere numărul real a pentru care M(2)·M(-2) = a·I2. Barem: 3 puncte pentru calculul produsului M(2)·M(-2) = ((-8,0),(0,-8)) = -8·I2; 2 puncte pentru a = -8.

Adunăm cele două matrice, element cu element:

$$M(x) + M(-2x) = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 3x - 6x \\ x - 2x & 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3x \\ -x & 4 \end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det (M(x) + M(-2x)) = 16 - 3x^2, \quad \text{pentru orice număr real } x.$$

Ecuația $16 - 3x^2 = 4$ dă $3x^2 = 12$, adică $x^2 = 4$, deci

$$x = -2 \quad \text{sau} \quad x = 2.$$

Se cere determinarea numerelor reale x pentru care det(M(x) + M(-2x)) = 4. Barem: 3 puncte pentru M(x) + M(-2x) = ((4, -3x),(-x, 4)) și determinantul 16 - 3x²; 2 puncte pentru x = -2 sau x = 2.

Calculăm mai întâi produsul, cu $M(-1) = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$:

$$M(x) \cdot M(-1) = \begin{pmatrix} 4 - 3x & -6 + 6x \\ 2x - 2 & -3x + 4 \end{pmatrix},$$

apoi adunăm $M(y)$:

$$M(x) \cdot M(-1) + M(y) = \begin{pmatrix} 6 - 3x & -6 + 6x + 3y \\ 2x - 2 + y & -3x + 6 \end{pmatrix}.$$

Membrul drept este

$$12 M(-1) = \begin{pmatrix} 24 & -36 \\ -12 & 24 \end{pmatrix}.$$

Egalând elementele de pe diagonala principală: $6 - 3x = 24$, deci $x = -6$. Înlocuind în poziția din dreapta sus: $-6 + 6 \cdot (-6) + 3y = -36$, adică $3y = 6$, deci $y = 2$. Ultima poziție se verifică: $2 \cdot (-6) - 2 + 2 = -12$.

Se cere determinarea numerelor reale x și y pentru care M(x)·M(-1) + M(y) = 12·M(-1). Barem: 3 puncte pentru calculul membrului stâng ca ((6 - 3x, -6 + 6x + 3y),(2x - 2 + y, -3x + 6)); 2 puncte pentru identificarea elementelor cu 12M(-1) = ((24,-36),(-12,24)), de unde x = -6 și y = 2.

Calculăm matricea și determinantul ei, pentru orice număr natural $n$:

$$2M(1) + n I_2 = \begin{pmatrix} 4 + n & 6 \\ 2 & 4 + n \end{pmatrix}, \qquad N = (4 + n)^2 - 12 = n^2 + 8n + 4.$$

Fie acum $n$ par, adică $n = 2k$ cu $k$ număr natural. Atunci

$$N = 4k^2 + 16k + 4 = 4(k^2 + 4k + 1),$$

adică $N$ este produsul dintre 4 și un număr natural, deci este multiplu de 4 pentru orice număr natural par $n$.

Se cere demonstrarea faptului că N = det(2M(1) + n·I2) este multiplu de 4 pentru orice n natural par. Barem: 3 puncte pentru 2M(1) + n·I2 = ((4+n, 6),(2, 4+n)) și N = n² + 8n + 4; 2 puncte pentru substituția n = 2k, care dă N = 4(k² + 4k + 1), deci N este multiplu de 4.