Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Ecuații exponențiale și logaritmice

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Aceeași bază, exponenți egali

Când ambii membri au aceeași bază, egalează exponenții:

a^{f(x)}=a^{g(x)} \;\Rightarrow\; f(x)=g(x), \qquad a>0,\ a\neq 1

Sfat

Scrie numerele ca puteri

Înainte de a egala exponenții, scrie fiecare număr ca putere a aceleiași baze: de exemplu $4=2^{2}$ , $8=2^{3}$ , $27=3^{3}$ , $125=5^{3}$ .

Idee

Substituția t egal a la puterea x

Notează $t=a^{x}$ cu $t>0$ . Ecuația devine algebrică în $t$ ; după ce o rezolvi, revii la $x$ din $a^{x}=t$ .

Sfat

Aruncă valorile negative ale lui t

Cum $a^{x}>0$ mereu, orice rădăcină $t\le 0$ se elimină. Doar valorile $t>0$ produc soluții reale pentru $x$ .

Formulă

Logaritmul citit ca putere

Un logaritm izolat se transformă direct în putere:

\log_{a}(N)=b \;\iff\; N=a^{b}, \qquad N>0,\ a>0,\ a\neq 1

Sfat

Pune condițiile de existență întâi

Înainte de orice calcul, cere ca argumentul fiecărui logaritm să fie strict pozitiv (și baza $>0$ , $\neq 1$ ). La final, păstrează doar soluțiile care respectă aceste condiții.

Formulă

Proprietățile logaritmilor

Cu aceeași bază, condensezi mai mulți logaritmi într-unul singur:

\log_{a}(mn)=\log_{a}m+\log_{a}n, \quad \log_{a}\frac{m}{n}=\log_{a}m-\log_{a}n, \quad \log_{a}(m^{k})=k\log_{a}m

Sfat

Verifică în condiții, nu doar în ecuație

După condensare obții deseori o ecuație de gradul II cu doi candidați. Elimină-l pe cel care încalcă condiția de existență, chiar dacă verifică ecuația condensată.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.3din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $10^{3}\cdot 10^{x} = 100$ .

Vezi rezolvarea

$10^{3}\cdot 10^{x} = 10^{3 + x}$ și $100 = 10^{2}$ , deci ecuația devine $10^{3 + x} = 10^{2}$ . Funcția exponențială fiind injectivă, $3 + x = 2$ , deci $x = -1$ .

Subiectul I.3din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_{7}\left(1 + 2x - x^{2}\right) = \log_{7}(3 - x)$ .

Vezi rezolvarea

Funcția logaritmică fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $1 + 2x - x^{2} = 3 - x$ , adică $x^{2} - 3x + 2 = 0$ , cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$ . Ambele verifică condițiile de existență $1 + 2x - x^{2} > 0$ și $3 - x > 0$ , deci convin.

Subiectul I.3din BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3 - x} = 7^{4x - 2}$ .

Vezi rezolvarea

Funcția exponențială de bază $7$ fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $3 - x = 4x - 2$ , adică $5x = 5$ , deci $x = 1$ .

Subiectul I.3din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2 (5x - 12) = \log_2 (2x)$ .

Vezi rezolvarea

Funcția logaritmică este injectivă, deci egalitatea logaritmilor în aceeași bază înseamnă egalitatea argumentelor:

$5x - 12 = 2x \;\Longleftrightarrow\; 3x = 12 \;\Longleftrightarrow\; x = 4.$

Verificarea condițiilor de existență: pentru $x = 4$ avem $5x - 12 = 8 > 0$ și $2x = 8 > 0$ , deci soluția convine. Mulțimea soluțiilor este $\{4\}$ .

Toate lecțiile de Matematică

Ecuații exponențiale și logaritmice

Pe scurt

Aceeași bază, exponenți egali

Scrie numerele ca puteri

Substituția t egal a la puterea x

Aruncă valorile negative ale lui t

Logaritmul citit ca putere

Pune condițiile de existență întâi

Proprietățile logaritmilor

Verifică în condiții, nu doar în ecuație

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.