BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3)

Rația progresiei este $r = a_{2} - a_{1} = 18 - 10 = 8$. Atunci $a_{3} = a_{2} + r = 18 + 8 = 26$.

Barem: $r = a_{2} - a_{1} = 8$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice (3p); $a_{3} = 18 + 8 = 26$ (2p).

$f(4) = 2\cdot 4 - 2 = 6$, $f(3) = 2\cdot 3 - 2 = 4$ și $f(2) = 2\cdot 2 - 2 = 2$, deci $f(4) - f(3) - f(2) = 6 - 4 - 2 = 0$.

Barem: $f(4) = 6$, $f(3) = 4$, $f(2) = 2$ (3p); $f(4) - f(3) - f(2) = 6 - 4 - 2 = 0$ (2p).

Funcția exponențială de bază $7$ fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $3 - x = 4x - 2$, adică $5x = 5$, deci $x = 1$.

Barem: $3 - x = 4x - 2$ (3p); $x = 1$ (2p).

Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, \ldots, 9$, deci sunt $10$ cazuri posibile. Inegalitatea $20 - 2n < 15$ este echivalentă cu $2n > 5$, adică $n > 2{,}5$, verificată de $n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, adică $7$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{7}{10}$.

Barem: mulțimea numerelor naturale de o cifră are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2p); în mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt $7$ numere $n$ pentru care $20 - 2n < 15$, deci sunt $7$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{7}{10}$ (3p).

Coordonatele mijlocului segmentului $AB$ sunt $\left(\dfrac{1 + a}{2}, \dfrac{1 + b}{2}\right)$. Din $\dfrac{1 + a}{2} = 2$ obținem $a = 3$, iar din $\dfrac{1 + b}{2} = 4$ obținem $b = 7$.

Barem: $\dfrac{1 + a}{2} = 2$, $\dfrac{1 + b}{2} = 4$ (3p); $a = 3$ și $b = 7$ (2p).

În triunghiul dreptunghic în $A$, $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$. Cum $\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, obținem $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{BC}$, deci $BC = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$.

Barem: $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, deci $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{BC}$ (3p); $BC = \dfrac{2\cdot 15}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ (2p).

Pentru $x = 4$ obținem $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, deci $\det\big(A(4)\big) = 4\cdot 2 - 1\cdot 3 = 8 - 3 = 5$.

Barem: $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\det\big(A(4)\big) = 4\cdot 2 - 1\cdot 3$ (3p); $= 8 - 3 = 5$ (2p).

$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, deci $2A(1) + A(4) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. Cum $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, avem $3A(2) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, deci egalitatea este adevărată.

Barem: $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $2A(1) + A(4) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ (3p); $= 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3A(2)$ (2p).

$A(-x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} -x & 1 \\ -x - 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & 1 \\ x - 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x^{2} + x - 1 & -x + 2 \\ -x^{2} + x - 2 & -x + 3 \end{pmatrix}$. Identificând cu $A(y) = \begin{pmatrix} y & 1 \\ y - 1 & 2 \end{pmatrix}$, din $-x + 2 = 1$ obținem $x = 1$, iar atunci $y = -x^{2} + x - 1 = -1$, valori care verifică și celelalte două egalități.

Barem: $A(-x) = \begin{pmatrix} -x & 1 \\ -x - 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $A(-x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} -x^{2} + x - 1 & -x + 2 \\ -x^{2} + x - 2 & -x + 3 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ (3p); din egalitatea cu $A(y) = \begin{pmatrix} y & 1 \\ y - 1 & 2 \end{pmatrix}$ obținem $x = 1$ și $y = -1$ (2p).

$0 \ast 3 = (4 - 0)(4 - 3) + 2 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$.

Barem: $0 \ast 3 = (4 - 0)(4 - 3) + 2$ (3p); $= 4 + 2 = 6$ (2p).

$2 \ast x = (4 - 2)(4 - x) + 2 = 8 - 2x + 2 = -2x + 10$. Ecuația $-2x + 10 = 2$ dă $2x = 8$, deci $x = 4$.

Barem: $2 \ast x = -2x + 10$, pentru orice număr real $x$ (3p); $-2x + 10 = 2$, de unde obținem $x = 4$ (2p).

$(2m) \ast (2n + 1) = (4 - 2m)\big(4 - (2n + 1)\big) + 2 = (4 - 2m)(3 - 2n) + 2$, deci condiția devine $(4 - 2m)(3 - 2n) = 8$. Factorul $3 - 2n$ este impar, iar produsul este $8$, deci $3 - 2n \in \{-1, 1\}$: pentru $3 - 2n = 1$ obținem $n = 1$ și $4 - 2m = 8$, deci $m = -2$; pentru $3 - 2n = -1$ obținem $n = 2$ și $4 - 2m = -8$, deci $m = 6$. Perechile sunt $(-2, 1)$ și $(6, 2)$.

Barem: $(2m) \ast (2n + 1) = (4 - 2m)(3 - 2n) + 2$ (2p); $(4 - 2m)(3 - 2n) = 8$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, obținem perechile $(-2, 1)$ și $(6, 2)$ (3p).

Derivând termen cu termen, $f'(x) = 12x^{3} - 12x^{2} - 24x = 12x\left(x^{2} - x - 2\right)$. Trinomul $x^{2} - x - 2$ are rădăcinile $-1$ și $2$, deci $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$.

Barem: $f'(x) = 12x^{3} - 12x^{2} - 24x$ (3p); $= 12x\left(x^{2} - x - 2\right) = 12x(x + 1)(x - 2)$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

$f(0) = -1$ și $f'(0) = 12\cdot 0\cdot 1\cdot(-2) = 0$. Ecuația tangentei în punctul $(0, -1)$ este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = -1$.

Barem: $f(0) = -1$, $f'(0) = 0$ (2p); ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = -1$ (3p).

Inegalitatea cerută este echivalentă cu $f(x) \ge -6$ pe $(-\infty, 0]$. Pe acest interval $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$ se anulează în $-1$ și $0$, este negativă pe $(-\infty, -1)$ și pozitivă pe $(-1, 0)$, deci $f$ are minim în $x = -1$. Cum $f(-1) = 3 + 4 - 12 - 1 = -6$, avem $f(x) \ge -6$ pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, adică $3x^{4} + 5 \ge 4x^{3} + 12x^{2}$.

Barem: pentru $x \in (-\infty, 0]$, $f'(x) = 0 \iff x = -1$ sau $x = 0$; $f'(x) \le 0$ pe $(-\infty, -1]$, deci $f$ este descrescătoare, și $f'(x) \ge 0$ pe $[-1, 0]$, deci $f$ este crescătoare (3p); $f(x) \ge f(-1)$ pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ și, cum $f(-1) = -6$, obținem $3x^{4} + 5 \ge 4x^{3} + 12x^{2}$ (2p).

$f(x) - xe^{x} = x + 1$, deci $\displaystyle\int_{0}^{4}(x + 1)\, dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + x\right)\Big|_{0}^{4} = 8 + 4 = 12$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{4}\left(f(x) - xe^{x}\right)dx = \int_{0}^{4}(x + 1)\, dx = \dfrac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{4} + x\Big|_{0}^{4}$ (3p); $= 8 + 4 = 12$ (2p).

$f(x) - x - 1 = xe^{x}$. Integrând prin părți, $\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{x} dx = xe^{x}\Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx = e - \left(e^{x}\Big|_{0}^{1}\right) = e - (e - 1) = 1$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(f(x) - x - 1\big)dx = \int_{0}^{1} x\left(e^{x}\right)' dx = xe^{x}\Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx$ (3p); $= e - e + 1 = 1$ (2p).

$\big(g(x)\big)^{2} = \dfrac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^{2}}$, care este derivata funcției $x \mapsto -\dfrac{1}{f(x)}$. Prin urmare $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^{2}}\, dx = \pi\left(-\dfrac{1}{f(1)} + \dfrac{1}{f(0)}\right)$. Cum $f(0) = 1$ și $f(1) = 2 + e$, volumul este $\pi\left(1 - \dfrac{1}{e + 2}\right) = \dfrac{\pi(e + 1)}{e + 2}$.

Barem: $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{1}\big(g(x)\big)^{2} dx = \pi\int_{0}^{1}\dfrac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^{2}}\, dx = \pi\cdot\left(-\dfrac{1}{f(x)}\right)\Big|_{0}^{1}$ (3p); $= \pi\left(-\dfrac{1}{e + 2} + 1\right) = \dfrac{\pi(e + 1)}{e + 2}$ (2p).