Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Reguli de derivare

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Derivata este liniară

Derivezi termen cu termen, iar constantele ies în față:

(f \pm g)' = f' \pm g', \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f'

Formulă

Regula produsului

La un produs, derivezi pe rând fiecare factor:

(f \cdot g)' = f' g + f g'

Formulă

Regula câtului

La un cât, atenție la semnul minus și la $g^{2}$ de la numitor:

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^{2}}

Formulă

Regula lanțului

Derivezi de la exterior spre interior și înmulțești:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Sfat

Nu uita derivata interiorului

Greșeala clasică la funcția compusă: derivezi exteriorul și uiți să înmulțești cu derivata interiorului. La $\sin(3x)$ apare factorul 3, deci $3\cos(3x)$ .

Formulă

Regula lui l'Hospital

Doar la formele nedeterminate $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ , derivezi separat sus și jos:

\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.1.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{3} - 4x}{x^{2} + 5}$ .

Arătați că $f'(x) = \dfrac{\left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 20\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Vezi rezolvarea

Cu regula de derivare a câtului, $f'(x) = \dfrac{\left(x^{3} - 4x\right)'\left(x^{2} + 5\right) - \left(x^{3} - 4x\right)\left(x^{2} + 5\right)'}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = \dfrac{\left(3x^{2} - 4\right)\left(x^{2} + 5\right) - \left(x^{3} - 4x\right)\cdot 2x}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}}$ . Numărătorul este $3x^{4} + 15x^{2} - 4x^{2} - 20 - 2x^{4} + 8x^{2} = x^{4} + 19x^{2} - 20 = \left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 20\right)$ .

Subiectul III.1.adin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right)$ .

Arătați că $f'(x) = e^{x}(2x + 3)(x - 1)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Vezi rezolvarea

Cu regula de derivare a produsului, $f'(x) = \left(e^{x}\right)'\left(2x^{2} - 3x\right) + e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right)' = e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right) + e^{x}(4x - 3) = e^{x}\left(2x^{2} + x - 3\right)$ . Trinomul $2x^{2} + x - 3$ are rădăcinile $-\dfrac{3}{2}$ și $1$ , deci $f'(x) = e^{x}(2x + 3)(x - 1)$ .

Subiectul III.1.adin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} - 1$ .

Arătați că $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Vezi rezolvarea

Derivând termen cu termen, $f'(x) = 12x^{3} - 12x^{2} - 24x = 12x\left(x^{2} - x - 2\right)$ . Trinomul $x^{2} - x - 2$ are rădăcinile $-1$ și $2$ , deci $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$ .

Subiectul III.1.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + \ln\dfrac{x}{x + 2}$ .

Arătați că $f'(x) = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)}$ , $x \in (0, +\infty)$ .

Vezi rezolvarea

Derivând logaritmul cu regula lanțului, $\left(\ln\dfrac{x}{x + 2}\right)' = \dfrac{x + 2}{x}\cdot\left(\dfrac{x}{x + 2}\right)' = \dfrac{x + 2}{x}\cdot\dfrac{2}{(x + 2)^{2}} = \dfrac{2}{x(x + 2)}$ . Prin urmare $f'(x) = 2 + \dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac{2x^{2} + 4x + 2}{x(x + 2)} = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)}$ .

Toate lecțiile de Matematică

Reguli de derivare

Pe scurt

Derivata este liniară

Regula produsului

Regula câtului

Regula lanțului

Nu uita derivata interiorului

Regula lui l'Hospital

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.