BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1)

$2z_{1} = 2 - 2i$ și $iz_{2} = i(2 + i) = 2i + i^{2} = 2i - 1$, deci $2z_{1} + iz_{2} = 2 - 2i + 2i - 1 = 1$.

Barem: $2z_{1} + iz_{2} = 2(1 - i) + i(2 + i) = 2 - 2i + 2i + i^{2}$ (2p); $= 2 - 1 = 1$ (3p).

$(f \circ f)(a) = f\big(f(a)\big) = f(a + 3) = (a + 3) + 3 = a + 6$. Din $a + 6 = 9$ obținem $a = 3$.

Barem: $f(a) = a + 3$ și $(f \circ f)(a) = a + 6$, pentru orice număr real $a$ (3p); $a + 6 = 9$, de unde obținem $a = 3$ (2p).

Condiția de existență cere $x \ge 0$. Ridicând la pătrat, $2x^{2} - 3x + 2 = x^{2}$, adică $x^{2} - 3x + 2 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$. Ambele sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

Barem: $2x^{2} - 3x + 2 = x^{2}$, de unde obținem $x^{2} - 3x + 2 = 0$ (2p); $x = 1$ sau $x = 2$, care convin (3p).

Sunt $90$ de numere naturale de două cifre, deci $90$ de cazuri posibile. Divizorii lui $2^{6} = 64$ sunt $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$ și $64$, dintre care de două cifre sunt $16$, $32$ și $64$, adică $3$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}$.

Barem: mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2p); în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $3$ divizori ai numărului $2^{6}$, deci sunt $3$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}$ (3p).

Mijlocul segmentului $AC$ este $\left(\dfrac{0 + 6}{2}, \dfrac{1 + 3}{2}\right) = (3, 2)$, iar mijlocul segmentului $BD$ este $\left(\dfrac{5 + a}{2}, \dfrac{0 + b}{2}\right)$. Egalând coordonatele, $\dfrac{5 + a}{2} = 3$ dă $a = 1$, iar $\dfrac{b}{2} = 2$ dă $b = 4$.

Barem: mijlocul segmentului $AC$ are coordonatele $(3, 2)$ și mijlocul segmentului $BD$ are coordonatele $\left(\dfrac{5 + a}{2}, \dfrac{b}{2}\right)$ (3p); $a = 1$ și $b = 4$ (2p).

În triunghiul dreptunghic în $A$, $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} = 3$, deci $AC = 3 \cdot 2 = 6$. Din teorema lui Pitagora, $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 4 + 36 = 40$, deci $BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Barem: $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB}$, de unde obținem $AC = 6$ (3p); $BC^{2} = 2^{2} + 6^{2}$, de unde obținem $BC = 2\sqrt{10}$ (2p).

Pentru $x = 1$ obținem $A(1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}$. Dezvoltând după a doua linie, $\det\big(A(1)\big) = 2\big((-1)\cdot 5 - 1\cdot(-9)\big) = 2(-5 + 9) = 8$.

Barem: $A(1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ (2p); $\det\big(A(1)\big) = -10 + 0 + 0 + 18 - 0 - 0 = 8$ (3p).

Înmulțind cele două matrice se obține $A(x)\cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4 - 6x - 6y & 0 & 2x + 2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x - 18y & 0 & 4 + 6x + 6y \end{pmatrix}$. Dând factor comun $2$ pe fiecare element, matricea devine $2A(x + y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Barem: $A(x)\cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4 - 6x - 6y & 0 & 2x + 2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x - 18y & 0 & 4 + 6x + 6y \end{pmatrix}$ (3p); $= 2\begin{pmatrix} 2 - 3(x + y) & 0 & x + y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x + y) & 0 & 2 + 3(x + y) \end{pmatrix} = 2A(x + y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2p).

Adunând element cu element, $A(x) + A(3x) = 2A(2x)$. Folosind punctul b), $2A(2x)\cdot A(2x) = 2\cdot 2A(4x) = 4A(4x)$. Egalitatea $4A(4x) = 4A\left(x^{2}\right)$ cere $4x = x^{2}$, adică $x(x - 4) = 0$, deci $x = 0$ sau $x = 4$.

Barem: $A(x) + A(3x) = 2A(2x)$ și $\big(A(x) + A(3x)\big)\cdot A(2x) = 4A(4x)$, pentru orice număr real $x$ (3p); $4A(4x) = 4A\left(x^{2}\right)$, de unde obținem $4x = x^{2}$, deci $x = 0$ sau $x = 4$ (2p).

$f(1) = a + 3 - a - 6 = -3$, termenii care conțin $a$ reducându-se pentru orice număr real nenul $a$.

Barem: $f(1) = a\cdot 1^{3} + 3\cdot 1^{2} - a\cdot 1 - 6$ (3p); $= a + 3 - a - 6 = -3$, pentru orice număr real nenul $a$ (2p).

Pentru $a = 1$, $f = X^{3} + 3X^{2} - X - 6$. Cum $X\left(X^{2} + 3X - 1\right) = X^{3} + 3X^{2} - X$, avem $f = X \cdot g - 6$, deci câtul este $X$ și restul este $-6$.

Barem: $f = X\left(X^{2} + 3X - 1\right) - 6$ și câtul împărțirii este $X$ (3p); restul este $-6$ (2p).

Scriind $f = a(X - x_{1})(X - x_{2})(X - x_{3})$ și evaluând în $-1$, $f(-1) = a(-1 - x_{1})(-1 - x_{2})(-1 - x_{3}) = -a(1 + x_{1})(1 + x_{2})(1 + x_{3})$, deci produsul cerut este $-\dfrac{f(-1)}{a}$. Cum $f(-1) = -a + 3 + a - 6 = -3$, condiția devine $\dfrac{3}{a} = 1$, deci $a = 3$.

Barem: $(1 + x_{1})(1 + x_{2})(1 + x_{3}) = -\dfrac{f(-1)}{a}$, pentru orice număr real nenul $a$ (3p); $-\dfrac{f(-1)}{a} = 1$, de unde obținem $a = 3$ (2p).

Derivând logaritmul cu regula lanțului, $\left(\ln\dfrac{x}{x + 2}\right)' = \dfrac{x + 2}{x}\cdot\left(\dfrac{x}{x + 2}\right)' = \dfrac{x + 2}{x}\cdot\dfrac{2}{(x + 2)^{2}} = \dfrac{2}{x(x + 2)}$. Prin urmare $f'(x) = 2 + \dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac{2x^{2} + 4x + 2}{x(x + 2)} = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)}$.

Barem: $f'(x) = 2 + \dfrac{x + 2}{x}\cdot\dfrac{x + 2 - x}{(x + 2)^{2}} = 2 + \dfrac{2}{x(x + 2)}$ (3p); $= \dfrac{2x^{2} + 4x + 2}{x(x + 2)} = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)}$, $x \in (0, +\infty)$ (2p).

Panta este $m = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 2$, iar ordonata la origine este $n = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - 2x\big) = \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x}{x + 2} = \ln 1 = 0$. Prin urmare asimptota oblică spre $+\infty$ are ecuația $y = 2x$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\ln\dfrac{x}{x + 2}\right) = 2$ (2p); $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - 2x\big) = \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x}{x + 2} = 0$, deci dreapta de ecuație $y = 2x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3p).

Cum $f'(x) = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)} > 0$ pe $(0, +\infty)$, funcția este strict crescătoare, deci injectivă. Apoi $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, iar $f$ este continuă, deci imaginea ei este $\mathbb{R}$, adică $f$ este surjectivă. Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă.

Barem: pentru orice $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) > 0$, deci $f$ este strict crescătoare și, prin urmare, injectivă (2p); $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, deci $f$ este surjectivă, de unde obținem că $f$ este bijectivă (3p).

$f(x)(x + 1)^{3} = x^{2}$ pentru orice $x \in (-1, +\infty)$, deci $\displaystyle\int_{0}^{3} x^{2}\, dx = \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} = 9$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)(x + 1)^{3}\, dx = \int_{0}^{3} x^{2}\, dx = \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{3}$ (3p); $= 9 - 0 = 9$ (2p).

$f(x)(x + 1) = \dfrac{x^{2}}{(x + 1)^{2}}$, deci pe $[0,1]$ avem $\sqrt{f(x)(x + 1)} = \dfrac{x}{x + 1}$. Scriind $\dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}$, integrala devine $\big(x - \ln(x + 1)\big)\Big|_{0}^{1} = 1 - \ln 2$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{f(x)(x + 1)}\, dx = \int_{0}^{1}\dfrac{x}{x + 1}\, dx = \int_{0}^{1}\left(1 - \dfrac{1}{x + 1}\right)dx = x\Big|_{0}^{1} - \ln(x + 1)\Big|_{0}^{1}$ (3p); $= 1 - 0 - \ln 2 + \ln 1 = 1 - \ln 2$ (2p).

$g(x) = \dfrac{f\left(e^{x}\right)}{e^{x}} = \dfrac{e^{2x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3} e^{x}} = \dfrac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}} > 0$, deci aria este $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\, dx$. Recunoscând $e^{x} = \left(e^{x} + 1\right)'$, o primitivă este $-\dfrac{1}{2\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$, iar aria devine $\dfrac{1}{2\left(e^{-1} + 1\right)^{2}} - \dfrac{1}{2(e + 1)^{2}} = \dfrac{e^{2} - 1}{2(e + 1)^{2}} = \dfrac{e - 1}{2(e + 1)}$.

Barem: $g(x) = \dfrac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}}$, $x \in \mathbb{R}$, deci $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\, dx = \int_{-1}^{1}\dfrac{\left(e^{x} + 1\right)'}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}}\, dx = -\dfrac{1}{2\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\Big|_{-1}^{1}$ (3p); $= \dfrac{e^{2} - 1}{2(e + 1)^{2}} = \dfrac{e - 1}{2(e + 1)}$ (2p).