Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Asimptote

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Asimptotă verticală

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală dacă $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ . La funcții raționale o cauți printre zerourile numitorului.

x = a \text{ este AV} \iff \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

Formulă

Asimptotă orizontală

Dreapta $y = L$ este asimptotă orizontală dacă $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (finit).

y = L \text{ este AO} \iff \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L

Sfat

Regula gradelor

Pentru $\dfrac{P}{Q}$ rațional: grad $P <$ grad $Q$ dă $y = 0$ ; grade egale dau $y = \dfrac{a}{b}$ (raportul coeficienților dominanți); grad $P >$ grad $Q$ nu dă asimptotă orizontală.

Formulă

Asimptotă oblică

Dreapta $y = mx + n$ este asimptotă oblică ( $m \ne 0$ ) cu:

m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad n = \lim_{x \to \infty} \bigl( f(x) - mx \bigr)

Sfat

Orizontală sau oblică, nu ambele

La același capăt, o funcție nu are simultan asimptotă orizontală și oblică. Compară gradele: grad $P =$ grad $Q$ dă orizontală, grad $P =$ grad $Q + 1$ dă oblică.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{3} - 4x}{x^{2} + 5}$ .

Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

$f(x) - x = \dfrac{x^{3} - 4x - x\left(x^{2} + 5\right)}{x^{2} + 5} = \dfrac{-9x}{x^{2} + 5}$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^{2} + 5} = 0$ . Cum panta este $1$ și ordonata la origine a asimptotei este $0$ , dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ .

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + \ln\dfrac{x}{x + 2}$ .

Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

Panta este $m = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 2$ , iar ordonata la origine este $n = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - 2x\big) = \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x}{x + 2} = \ln 1 = 0$ . Prin urmare asimptota oblică spre $+\infty$ are ecuația $y = 2x$ .

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2} + x + 2}$ .

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

Gradul numitorului depășește ordinul de creștere al numărătorului, deci $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2} + x + 2} = 0$ . Limita fiind finită, dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ .

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + x + 4}$ .

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + x + 4}$ . Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^{2}+x+4} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^{2}}\right)} = 0$ . Prin urmare, dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Toate lecțiile de Matematică

Asimptote

Pe scurt

Asimptotă verticală

Asimptotă orizontală

Regula gradelor

Asimptotă oblică

Orizontală sau oblică, nu ambele

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.