BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2024 (Varianta 10)

Rația progresiei aritmetice este $r = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$. Atunci $a_1 = a_2 - r = 8 - 4 = 4$.

Barem: rația progresiei este $r = a_3 - a_2 = 4$ (3p); $a_1 = a_2 - r = 4$ (2p).

$f(m) = 3m - 2$. Condiția $f(m) = m$ devine $3m - 2 = m$, adică $2m = 2$, deci $m = 1$.

Barem: $f(m) = 3m - 2$, pentru orice număr real $m$ (2p); $3m - 2 = m$, de unde obținem $m = 1$ (3p).

Ecuația $\log_6\left(9 - x^{2}\right) = \log_6 5$ este echivalentă cu $9 - x^{2} = 5$, deci $x^{2} - 4 = 0$, de unde $x = -2$ sau $x = 2$. Pentru ambele valori $9 - x^{2} = 5 > 0$, deci soluțiile convin.

Barem: $9 - x^{2} = 5$, de unde obținem $x^{2} - 4 = 0$ (2p); $x = -2$ sau $x = 2$, care convin (3p).

Mulțimea $A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile. Căutăm $n \in A$ pentru care $\sqrt{2n+1} \in A$: pentru $n = 0$, $\sqrt{2n+1} = \sqrt{1} = 1 \in A$, iar pentru $n = 4$, $\sqrt{2n+1} = \sqrt{9} = 3 \in A$. Sunt deci $2$ cazuri favorabile, de unde $p = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.

Barem: mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2p); numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care $\sqrt{2n+1}$ aparține mulțimii $A$ sunt $0$ și $4$, deci sunt $2$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ (3p).

Panta dreptei $AC$ este $m_{AC} = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{2 - 0}{5 - 1} = \dfrac{1}{2}$, iar panta dreptei $BC$ este $m_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{2 - 4}{5 - 4} = -2$. Cum $m_{AC}\cdot m_{BC} = \dfrac{1}{2}\cdot(-2) = -1$, dreptele $AC$ și $BC$ sunt perpendiculare, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.

Barem: $m_{AC} = \dfrac{1}{2}$ (2p); $m_{BC} = -2$, deci $m_{AC}\cdot m_{BC} = -1$, prin urmare triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ (3p).

Pentru $x = \dfrac{\pi}{3}$ avem $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\dfrac{x}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin\dfrac{3x}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Atunci $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$.

Barem: $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (3p); $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2}{4} = 2$ (2p).

Pentru $a = 1$, $B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1+1 \\ 1-3 & 4\cdot 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$. Atunci $\det(B(1)) = 1\cdot 3 - 2\cdot(-2) = 3 + 4 = 7$.

Barem: $B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, deci $\det(B(1)) = 1\cdot 3 - 2\cdot(-2)$ (3p); $= 3 + 4 = 7$ (2p).

$B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$, $B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ și $B(2) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$. Calculăm $B(0)\cdot B(1) = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -9 \end{pmatrix}$, deci $B(2) - B(0)\cdot B(1) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4A$.

Barem: $B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$ și $B(0)\cdot B(1) = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -9 \end{pmatrix}$ (3p); $B(2) - B(0)\cdot B(1) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 4A$ (2p).

$C(a) = B(a) - aA = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a-3 & 4a-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a+1 \\ a-3 & -1 \end{pmatrix}$. Atunci $\det(C(a)) = 0\cdot(-1) - (a+1)(a-3) = -(a-3)(a+1)$. Matricea $C(a)$ nu este inversabilă dacă $\det(C(a)) = 0$, adică $a = -1$ sau $a = 3$.

Barem: $C(a) = \begin{pmatrix} 0 & a+1 \\ a-3 & -1 \end{pmatrix}$, deci $\det(C(a)) = -(a-3)(a+1)$, pentru orice număr real $a$ (3p); $\det(C(a)) = 0$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 3$ (2p).

$2 * 2 = 2\cdot 2 - 2\cdot 2 - 3\cdot 2 + 6 = 4 - 4 - 6 + 6 = 0$.

Barem: $2 * 2 = 2\cdot 2 - 2\cdot 2 - 3\cdot 2 + 6$ (3p); $= 4 - 4 - 6 + 6 = 0$ (2p).

$x * 6 = x\cdot 6 - 2x - 3\cdot 6 + 6 = 6x - 2x - 18 + 6 = 4x - 12$. Condiția $x * 6 = x$ devine $4x - 12 = x$, adică $3x = 12$, deci $x = 4$.

Barem: $x * 6 = 4x - 12$, pentru orice număr real $x$ (3p); $4x - 12 = x$, de unde obținem $x = 4$ (2p).

$2 * x = 2x - 4 - 3x + 6 = 2 - x$. Atunci $x * (2 * x) = x * (2 - x) = x(2-x) - 2x - 3(2-x) + 6 = 2x - x^{2} - 2x - 6 + 3x + 6 = -x^{2} + 3x$. Inegalitatea $x * (2 * x) \ge 2$ devine $-x^{2} + 3x \ge 2$, adică $-x^{2} + 3x - 2 \ge 0$, echivalent cu $x^{2} - 3x + 2 \le 0$, de unde $x \in [1, 2]$.

Barem: $2 * x = 2 - x$, $x * (2 * x) = -x^{2} + 3x$, pentru orice număr real $x$ (2p); $-x^{2} + 3x \ge 2 \Rightarrow -x^{2} + 3x - 2 \ge 0$, de unde obținem $x \in [1, 2]$ (3p).

Aplicând regula de derivare a câtului, $f'(x) = \dfrac{(2x)'\left(x^{2}+x+4\right) - 2x\left(x^{2}+x+4\right)'}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}} = \dfrac{2\left(x^{2}+x+4\right) - 2x(2x+1)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}} = \dfrac{8 - 2x^{2}}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}} = \dfrac{2\left(4 - x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{2\left(x^{2}+x+4\right) - 2x(2x+1)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$ (3p); $= \dfrac{8 - 2x^{2}}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}} = \dfrac{2\left(4 - x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^{2}+x+4} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^{2}}\right)} = 0$. Prin urmare, dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Barem: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^{2}+x+4} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^{2}}\right)} = 0$ (3p); dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2p).

Din $f'(x) = \dfrac{2\left(4 - x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$ rezultă $f'(x) = 0 \iff x = -2$ sau $x = 2$. Astfel $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -2]$, crescătoare pe $[-2, 2]$ și descrescătoare pe $[2, +\infty)$. Pentru $x \in [4, +\infty)$ avem $4 - x \in (-\infty, 0]$, deci $f(x) \le f(4) = \dfrac{1}{3}$ (pe $[2, +\infty)$ funcția scade) și $f(4-x) \ge f(-2) = -\dfrac{2}{3}$ (minimul funcției). Prin urmare $f(x) - f(4-x) \le \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1$, pentru orice $x \in [4, +\infty)$.

Barem: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2$ sau $x = 2$; $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -2]$, crescătoare pe $[-2, 2]$ și descrescătoare pe $[2, +\infty)$ (2p); $x \in [4, +\infty) \Rightarrow 4 - x \in (-\infty, 0]$, deci $f(x) \le f(4)$ și $f(4-x) \ge f(-2)$ și, cum $f(-2) = -\dfrac{2}{3}$ și $f(4) = \dfrac{1}{3}$, obținem $f(x) - f(4-x) \le 1$, pentru orice $x \in [4, +\infty)$ (3p).

$(x+1)f(x) = (x+1)\cdot\dfrac{x+3}{x+1} = x+3$. Atunci $\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx = \int_0^2 (x+3)\,dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + 3x\right)\Big|_0^2 = (2 + 6) - 0 = 8$.

Barem: $\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx = \int_0^2 (x+3)\,dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + 3x\right)\Big|_0^2$ (3p); $= 2 + 6 = 8$ (2p).

$\dfrac{x+3}{x+1} = \dfrac{(x+1) + 2}{x+1} = 1 + \dfrac{2}{x+1}$, deci $\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \left(1 + \dfrac{2}{x+1}\right)\,dx = \left(x + 2\ln(x+1)\right)\Big|_0^1 = (1 + 2\ln 2) - (0 + 2\ln 1) = 1 + 2\ln 2$.

Barem: $\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \dfrac{x+3}{x+1}\,dx = \int_0^1 \left(1 + \dfrac{2}{x+1}\right)\,dx = \left(x + 2\ln(x+1)\right)\Big|_0^1$ (3p); $= 1 + 2\ln 2 - 2\ln 1 = 1 + 2\ln 2$ (2p).

$\left(x^{2}-1\right)f(x) = \left(x^{2}-1\right)\cdot\dfrac{x+3}{x+1} = (x-1)(x+3) = x^{2} + 2x - 3$, deci $\int_1^2 \left(x^{2}-1\right)e^{x} f(x)\,dx = \int_1^2 \left(x^{2} + 2x - 3\right)e^{x}\,dx$. Cum $\left(\left(x^{2}-3\right)e^{x}\right)' = 2x e^{x} + \left(x^{2}-3\right)e^{x} = \left(x^{2}+2x-3\right)e^{x}$, obținem $\int_1^2 \left(x^{2}+2x-3\right)e^{x}\,dx = \left(x^{2}-3\right)e^{x}\Big|_1^2 = (4-3)e^{2} - (1-3)e = e^{2} + 2e$. Din $e(e + a) = e^{2} + ae = e^{2} + 2e$ rezultă $a = 2$.

Barem: $\int_1^2 \left(x^{2}-1\right)e^{x} f(x)\,dx = \int_1^2 \left(x^{2} + 2x - 3\right)e^{x}\,dx = \left(x^{2} - 3\right)e^{x}\Big|_1^2 = e^{2} + 2e$ (3p); $e(e + a) = e^{2} + 2e$, de unde obținem $a = 2$ (2p).