Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Integrala definită

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Idee

Integrala definită este o arie

Pentru $f$ continuă și pozitivă, $\int_a^b f(x)\,dx$ este aria regiunii dintre grafic și axa $Ox$ , ca limită a sumelor Riemann.

\int_a^b f(x)\,dx

Sfat

Capete dreapta vs. stânga

Pentru o funcție crescătoare, dreptunghiurile cu înălțimea în capătul din dreapta supraestimează aria, iar cele cu capătul din stânga o subestimează. Cu mai multe dreptunghiuri, ambele tind spre valoarea exactă.

Formulă

Formula Leibniz-Newton

Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ continuă, atunci:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Formulă

Liniaritate și aditivitate

\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f

Sfat

Inversarea limitelor

$\int_a^a f = 0$ , iar schimbarea ordinii limitelor schimbă semnul: $\int_b^a f = -\int_a^b f$ .

Formulă

Părți pe interval

\int_a^b u\,v'\,dx = \left. u\,v \right|_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx

Sfat

La substituție, schimbă limitele

Când substitui $t = u(x)$ , transformă și limitele: $x = a \to t = u(a)$ , $x = b \to t = u(b)$ . Apoi nu mai revii la $x$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.2.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{2} - 4}{x\ln x}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\, x\ln x\, dx = \dfrac{7}{3}$ .

Vezi rezolvarea

$f(x)\, x\ln x = \dfrac{x^{2} - 4}{x\ln x}\cdot x\ln x = x^{2} - 4$ pentru orice $x \in (1, +\infty)$ . Aplicând formula Leibniz-Newton, $\displaystyle\int_{2}^{3}\left(x^{2} - 4\right)dx = \left(\dfrac{x^{3}}{3} - 4x\right)\Big|_{2}^{3} = (9 - 12) - \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) = -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}$ .

Subiectul III.2.adin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \left(2x^{2} + 4x\right)\sqrt{x + 1}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 1}}\, dx = 36$ .

Vezi rezolvarea

Pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ , $\dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 1}} = 2x^{2} + 4x$ . Aplicând formula Leibniz-Newton, $\displaystyle\int_{0}^{3}\left(2x^{2} + 4x\right)dx = \left(\dfrac{2x^{3}}{3} + 2x^{2}\right)\Big|_{0}^{3} = 18 + 18 = 36$ .

Subiectul III.2.adin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x + 1 + xe^{x}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{4}\left(f(x) - xe^{x}\right)dx = 12$ .

Vezi rezolvarea

$f(x) - xe^{x} = x + 1$ , deci $\displaystyle\int_{0}^{4}(x + 1)\, dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + x\right)\Big|_{0}^{4} = 8 + 4 = 12$ .

Subiectul III.2.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{2}}{(x + 1)^{3}}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)(x + 1)^{3}\, dx = 9$ .

Vezi rezolvarea

$f(x)(x + 1)^{3} = x^{2}$ pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ , deci $\displaystyle\int_{0}^{3} x^{2}\, dx = \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} = 9$ .

Toate lecțiile de Matematică

Integrala definită

Pe scurt

Integrala definită este o arie

Capete dreapta vs. stânga

Formula Leibniz-Newton

Liniaritate și aditivitate

Inversarea limitelor

Părți pe interval

La substituție, schimbă limitele

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.