Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Aplicații ale integralei definite

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Aria dintre două curbe

Pentru $f \ge g$ pe $[a, b]$ , aria dintre grafice este integrala diferenței sus minus jos.

A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx

Sfat

Aria nu este integrala când apare semnul

Dacă $f$ trece sub axă, aria folosește modulul: desparți la zerouri și aduni bucățile pozitive.

A = \int_a^b |f(x)|\,dx

Formulă

Volumul unui corp de rotație

Rotind regiunea de sub $f \ge 0$ în jurul axei $Ox$ , fiecare felie este un disc de rază $f(x)$ .

V = \pi \int_a^b f(x)^{2}\,dx

Sfat

Pătratul vine din aria cercului

Nu uita pătratul: aria discului este $\pi r^{2}$ cu $r = f(x)$ , de aceea sub integrală apare $f(x)^{2}$ , nu $f(x)$ .

Formulă

Suma Riemann ca integrală

O sumă cu factorul $\dfrac{1}{n}$ în față și $f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$ converge la o integrală pe $[0, 1]$ .

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx

Idee

Cum recunoști suma Riemann

Scoate $\dfrac{1}{n}$ în față, înlocuiește $\dfrac{k}{n}$ cu $x$ pentru a citi funcția $f$ , apoi calculează $\int_0^1 f$ . Suma merge de la $k = 1$ la $n$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.2.cdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \left(2x^{2} + 4x\right)\sqrt{x + 1}$ .

Se consideră funcția $g:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x) = \dfrac{4\sqrt{x + 1}}{f(x)}$ . Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ .

Vezi rezolvarea

$g(x) = \dfrac{4\sqrt{x + 1}}{2\left(x^{2} + 2x\right)\sqrt{x + 1}} = \dfrac{2}{x^{2} + 2x} = \dfrac{2}{x(x + 2)} > 0$ pe $(0, +\infty)$ , deci aria este $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\, dx$ . Descompunând în fracții simple, $\dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}$ , iar $\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}\right)dx = \ln\dfrac{x}{x + 2}\Big|_{1}^{4} = \ln\dfrac{4}{6} - \ln\dfrac{1}{3} = \ln 2$ .

Subiectul III.2.cdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x + 1 + xe^{x}$ .

Se consideră funcția $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ , $g(x) = \dfrac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$ . Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $\dfrac{\pi(e + 1)}{e + 2}$ .

Vezi rezolvarea

$\big(g(x)\big)^{2} = \dfrac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^{2}}$ , care este derivata funcției $x \mapsto -\dfrac{1}{f(x)}$ . Prin urmare $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^{2}}\, dx = \pi\left(-\dfrac{1}{f(1)} + \dfrac{1}{f(0)}\right)$ . Cum $f(0) = 1$ și $f(1) = 2 + e$ , volumul este $\pi\left(1 - \dfrac{1}{e + 2}\right) = \dfrac{\pi(e + 1)}{e + 2}$ .

Subiectul III.2.cdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{2}}{(x + 1)^{3}}$ .

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x) = \dfrac{f\left(e^{x}\right)}{e^{x}}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = -1$ și $x = 1$ este egală cu $\dfrac{e - 1}{2(e + 1)}$ .

Vezi rezolvarea

$g(x) = \dfrac{f\left(e^{x}\right)}{e^{x}} = \dfrac{e^{2x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3} e^{x}} = \dfrac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}} > 0$ , deci aria este $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\, dx$ . Recunoscând $e^{x} = \left(e^{x} + 1\right)'$ , o primitivă este $-\dfrac{1}{2\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$ , iar aria devine $\dfrac{1}{2\left(e^{-1} + 1\right)^{2}} - \dfrac{1}{2(e + 1)^{2}} = \dfrac{e^{2} - 1}{2(e + 1)^{2}} = \dfrac{e - 1}{2(e + 1)}$ .

Subiectul III.2.cdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{4x}{3x^2 + 1}$ .

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x) = \dfrac{4\ln x}{f(x)}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $\dfrac{3e^2 + 5}{4}$ .

Vezi rezolvarea

$g(x) = \dfrac{4\ln x}{f(x)} = \dfrac{4\ln x (3x^2+1)}{4x} = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x$ , care este $\ge 0$ pe $[1, e]$ . Deci $\mathcal{A} = \int_1^e \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x\,dx$ . Integrând prin părți cu $\left(\dfrac{3x^2}{2} + \ln x\right)' = 3x + \dfrac{1}{x}$ , se obține $\mathcal{A} = 3\left(\dfrac{x^2\ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4}\right)\Big|_1^e + \dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \dfrac{3e^2}{4} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3e^2 + 5}{4}$ .

Toate lecțiile de Matematică

Aplicații ale integralei definite

Pe scurt

Aria dintre două curbe

Aria nu este integrala când apare semnul

Volumul unui corp de rotație

Pătratul vine din aria cercului

Suma Riemann ca integrală

Cum recunoști suma Riemann

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.