Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Primitive și integrala nedefinită

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Definiția primitivei

$F$ este primitivă a lui $f$ dacă $F' = f$ . Mulțimea tuturor primitivelor este integrala nedefinită:

F'(x) = f(x), \quad \int f(x)\,dx = F(x) + C

Sfat

Nu uita constanta C

Două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă. Adaugă mereu $+ C$ la o integrală nedefinită.

Formulă

Regula puterii

Regula puterii și cazul special $n = -1$ :

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1), \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

Formulă

Exponențiala și trigonometricele

Primitivele uzuale de reținut (atenție la minusul de la $\sin$ ):

\int e^{x}\,dx = e^{x} + C, \quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

Formulă

Integrarea prin părți

Formula integrării prin părți:

\int u\,v'\,dx = u\,v - \int u'\,v\,dx

Sfat

Cum alegi u

Alege $u$ astfel încât $u'$ să fie mai simplă: dacă apare un polinom, ia $u$ polinomul; dacă apare $\ln$ , ia $u = \ln x$ .

Formulă

Schimbarea de variabilă

Schimbarea de variabilă cu $t = g(x)$ :

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt, \quad t = g(x)

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.2.bdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^{2} - 4}{x\ln x}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{e}^{e^{2}} \dfrac{f(x)}{x^{2} - 4}\, dx = \ln 2$ .

Vezi rezolvarea

$\dfrac{f(x)}{x^{2} - 4} = \dfrac{1}{x\ln x}$ pentru orice $x \in (1, +\infty)$ . Cu substituția $t = \ln x$ , $dt = \dfrac{1}{x}dx$ , integrala devine $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{t}\, dt = \ln t\Big|_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ .

Subiectul III.2.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \left(2x^{2} + 4x\right)\sqrt{x + 1}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{3}^{8}\dfrac{x^{2} + 2x}{f(x)}\, dx = 1$ .

Vezi rezolvarea

$\dfrac{x^{2} + 2x}{f(x)} = \dfrac{x^{2} + 2x}{2\left(x^{2} + 2x\right)\sqrt{x + 1}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}$ , care este derivata funcției $x \mapsto \sqrt{x + 1}$ . Prin urmare integrala este $\sqrt{x + 1}\Big|_{3}^{8} = 3 - 2 = 1$ .

Subiectul III.2.bdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x + 1 + xe^{x}$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(f(x) - x - 1\big)dx = 1$ .

Vezi rezolvarea

$f(x) - x - 1 = xe^{x}$ . Integrând prin părți, $\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{x} dx = xe^{x}\Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx = e - \left(e^{x}\Big|_{0}^{1}\right) = e - (e - 1) = 1$ .

Subiectul III.2.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x^{3} + 3x + 3$ .

Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(f(x) - x^{3}\right)^{2}}\, dx = \dfrac{1}{18}$ .

Vezi rezolvarea

$f(x) - x^{3} = 3x + 3$ , deci integrandul este $\dfrac{1}{(3x + 3)^{2}}$ . Cum $(3x + 3)' = 3$ , o primitivă este $-\dfrac{1}{3(3x + 3)}$ , iar integrala este $-\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{18}$ .

Toate lecțiile de Matematică

Primitive și integrala nedefinită

Pe scurt

Definiția primitivei

Nu uita constanta C

Regula puterii

Exponențiala și trigonometricele

Integrarea prin părți

Cum alegi u

Schimbarea de variabilă

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.