Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Rădăcini ale polinoamelor: Bézout, Viète, ecuații algebrice

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Rădăcină, factor și teorema lui Bézout

Un număr $a$ este rădăcină a lui $P$ dacă $P(a) = 0$ . Teorema lui Bézout leagă rădăcina de factor:

(X - a) \mid P \iff P(a) = 0

Sfat

Restul împărțirii la X - a

Restul împărțirii lui $P$ la $X - a$ este chiar $P(a)$ . Așa testezi rapid divizibilitatea: dacă $P(a) = 0$ , atunci $X - a$ este factor.

Formulă

Teorema rădăcinilor raționale

Dacă $P$ are coeficienți întregi, orice rădăcină rațională $\frac{p}{q}$ (ireductibilă) satisface:

p \mid a_0, \qquad q \mid a_n

Dacă $P$ este unitar, rădăcinile raționale sunt întregi și divid termenul liber.

Idee

Descompunere, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Peste $\mathbb{R}$ , factorii ireductibili sunt de gradul I sau de gradul II cu discriminant negativ. Din descompuneri citim c.m.m.d.c. (factorii comuni) și c.m.m.m.c. (toți factorii) ai unor polinoame.

Formulă

Relațiile lui Viète (gradul III)

Pentru $aX^3 + bX^2 + cX + d$ cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$ :

x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \quad \sum x_i x_j = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}

Sfat

Construiește un polinom din rădăcini

Un polinom unitar de gradul II cu rădăcinile date se scrie direct din sumă și produs:

X^2 - SX + P, \quad S = x_1 + x_2, \ P = x_1 x_2

Idee

Trei tipuri de ecuații algebrice

Binomă $x^n = a$ : factorizezi $x^n - a$ .
Bipătrată $ax^4 + bx^2 + c = 0$ : substituția $t = x^2$ .
Reciprocă (coeficienți simetrici): împarți la $x^2$ și pui $y = x + \frac{1}{x}$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul II.2.bdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = X^{3} - aX + 2 + a$ , unde $a$ este număr real.

Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .

Vezi rezolvarea

Conform teoremei lui Bézout, $g = X + 2$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(-2) = 0$ . Cum $f(-2) = -8 + 2a + 2 + a = 3a - 6$ , condiția devine $3a - 6 = 0$ , deci $a = 2$ .

Subiectul II.2.cdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = aX^{3} + 3X^{2} - aX - 6$ , unde $a$ este număr real nenul.

Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_{1})(1 + x_{2})(1 + x_{3}) = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Vezi rezolvarea

Scriind $f = a(X - x_{1})(X - x_{2})(X - x_{3})$ și evaluând în $-1$ , $f(-1) = a(-1 - x_{1})(-1 - x_{2})(-1 - x_{3}) = -a(1 + x_{1})(1 + x_{2})(1 + x_{3})$ , deci produsul cerut este $-\dfrac{f(-1)}{a}$ . Cum $f(-1) = -a + 3 + a - 6 = -3$ , condiția devine $\dfrac{3}{a} = 1$ , deci $a = 3$ .

Subiectul II.2.bdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3X^{2} + X + m$ , unde $m$ este număr real.

Determinați numărul real $m$ pentru care $2x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 1 + x_{1}x_{2}x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Vezi rezolvarea

Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$ și $x_{1}x_{2}x_{3} = -m$ . Condiția devine $2\cdot 3 = 1 - m$ , adică $6 = 1 - m$ , deci $m = -5$ .

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a$ , unde $a$ este număr real.

Arătați că $f(2) = 0$ , pentru orice număr real $a$ .

Vezi rezolvarea

$f(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 - a\cdot 2 + 2a = 8 - 8 - 2a + 2a = 0$ , pentru orice număr real $a$ .

Toate lecțiile de Matematică

Rădăcini ale polinoamelor: Bézout, Viète, ecuații algebrice

Pe scurt

Rădăcină, factor și teorema lui Bézout

Restul împărțirii la X - a

Teorema rădăcinilor raționale

Descompunere, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Relațiile lui Viète (gradul III)

Construiește un polinom din rădăcini

Trei tipuri de ecuații algebrice

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.