Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Polinoame: operații

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Gradul și coeficienții unui polinom

Un polinom se scrie ca sumă de monoame ordonate după grad:

P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0

Gradul este puterea maximă cu coeficient nenul, $a_n$ este coeficientul dominant, iar $a_0 = P(0)$ este termenul liber.

Sfat

Atenție la termenii lipsă

Un termen care lipsește are coeficientul 0. De exemplu, $X^3 + 2$ are coeficienții lui $X^2$ și ai lui $X$ egali cu 0.

Reține: la schema lui Horner trebuie să treci și acești coeficienți 0, altfel greșești calculul.

Idee

Operează pe grade

La adunare și scădere combini doar termenii de același grad: aduni sau scazi coeficienții pe fiecare grad.

Un scalar $\alpha$ înmulțește toți coeficienții; dacă $\alpha \ne 0$ , gradul nu se schimbă.

Formulă

Gradul produsului

Înmulțirea se face prin distributivitate: fiecare termen cu fiecare. Gradul produsului este suma gradelor:

\operatorname{grad}(P \cdot Q) = \operatorname{grad} P + \operatorname{grad} Q

Coeficientul dominant al produsului este produsul coeficienților dominanți.

Formulă

Teorema împărțirii cu rest

P = D \cdot C + R, \quad \operatorname{grad} R < \operatorname{grad} D

Câtul $C$ și restul $R$ sunt unice, iar gradul restului este strict mai mic decât al împărțitorului $D$ .

Sfat

Horner și restul

La împărțirea la $X - a$ , ultimul număr din schema lui Horner este restul, iar el este egal cu $P(a)$ .

Restul fiind un număr, ai și o cale rapidă de a calcula valoarea $P(a)$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = X^{3} - aX + 2 + a$ , unde $a$ este număr real.

Arătați că $f(1) = 3$ , pentru orice număr real $a$ .

Vezi rezolvarea

$f(1) = 1^{3} - a \cdot 1 + 2 + a = 1 - a + 2 + a = 3$ , termenii care conțin $a$ reducându-se pentru orice număr real $a$ .

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = aX^{3} + 3X^{2} - aX - 6$ , unde $a$ este număr real nenul.

Arătați că $f(1) = -3$ , pentru orice număr real nenul $a$ .

Vezi rezolvarea

$f(1) = a + 3 - a - 6 = -3$ , termenii care conțin $a$ reducându-se pentru orice număr real nenul $a$ .

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3X^{2} + X + m$ , unde $m$ este număr real.

Pentru $m = 1$ , arătați că $f(1) = 0$ .

Vezi rezolvarea

Pentru $m = 1$ , $f = X^{3} - 3X^{2} + X + 1$ , deci $f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$ .

Toate lecțiile de Matematică

Polinoame: operații

Pe scurt

Gradul și coeficienții unui polinom

Atenție la termenii lipsă

Operează pe grade

Gradul produsului

Teorema împărțirii cu rest

Horner și restul

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.