Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Structuri algebrice: grupuri, inele, corpuri

Clasa a XII-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Idee

Lege internă și parte stabilă

O lege de compoziție internă pe $M$ duce orice pereche $(x, y)$ într-un element $x * y$ tot din $M$ .

O submulțime $H$ este parte stabilă dacă $x * y \in H$ ori de câte ori $x, y \in H$ .

Formulă

Element neutru și element simetric

Pentru o lege $*$ cu element neutru $e$ :

x * e = e * x = x; \qquad x * x' = x' * x = e

Idee

Axiomele grupului

$(G, *)$ este grup dacă $*$ este lege internă, asociativă, are element neutru și orice element este simetrizabil.

Dacă $*$ este și comutativă, grupul este abelian.

Formulă

Morfism și izomorfism

$f: (G, *) \to (H, \circ)$ este morfism dacă păstrează operația:

f(x * y) = f(x) \circ f(y)

Un morfism bijectiv este izomorfism.

Idee

Inel față de corp

Un inel $(A, +, \cdot)$ are două legi: grup comutativ la $+$ , înmulțire asociativă și distributivă.

Un corp este un inel comutativ în care orice element nenul are invers la înmulțire.

Sfat

Când este Zn corp

$\mathbb{Z}_n$ este mereu inel, dar este corp doar când $n$ este prim.

Capcană: $\mathbb{Z}_6$ are $n > 1$ , însă $\hat 2$ nu are invers, deci nu e corp.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \ast y = \dfrac{2}{3}(x - 3)(y - 3) + 3$ .

Arătați că $0 \ast 2 = 5$ .

Vezi rezolvarea

$0 \ast 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3 = \dfrac{2}{3}\cdot(-3)\cdot(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$ .

Subiectul II.1din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = xy - x - 2y + 4$ .

Arătați că $3 \ast 3 = 4$ .

Vezi rezolvarea

$3 \ast 3 = 3\cdot 3 - 3 - 2\cdot 3 + 4 = 9 - 3 - 6 + 4 = 4$ .

Subiectul II.2.adin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = (4 - x)(4 - y) + 2$ .

Arătați că $0 \ast 3 = 6$ .

Vezi rezolvarea

$0 \ast 3 = (4 - 0)(4 - 3) + 2 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$ .

Subiectul II.1din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = xy - 6(x + y) + 14$ .

Arătați că $0 \ast 2 = 2$ .

Vezi rezolvarea

Înlocuim direct în definiția legii:

$0 \ast 2 = 0 \cdot 2 - 6(0 + 2) + 14 = 0 - 12 + 14 = 2.$

Toate lecțiile de Matematică

Structuri algebrice: grupuri, inele, corpuri

Pe scurt

Lege internă și parte stabilă

Element neutru și element simetric

Axiomele grupului

Morfism și izomorfism

Inel față de corp

Când este Zn corp

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.