BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3)

$1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$, deci $\dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}$. Atunci $\dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$.

Barem: $\dfrac{14}{5}\cdot\left(1 - \dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3}$ (3p); $= \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{3} = 3$ (2p).

$a = f(1) = 4\cdot 1 - 1 = 3$, deci $f(a) = f(3) = 4\cdot 3 - 1 = 11$.

Barem: $f(1) = 3$, deci $a = 3$ (2p); $f(a) = f(3) = 11$ (3p).

$10^{3}\cdot 10^{x} = 10^{3 + x}$ și $100 = 10^{2}$, deci ecuația devine $10^{3 + x} = 10^{2}$. Funcția exponențială fiind injectivă, $3 + x = 2$, deci $x = -1$.

Barem: $10^{3 + x} = 10^{2}$, de unde obținem $3 + x = 2$ (3p); $x = -1$ (2p).

Fie $x$ prețul inițial. După prima ieftinire cu $50\%$ prețul devine $\dfrac{x}{2}$, iar după a doua $\dfrac{x}{4}$. Din $\dfrac{x}{4} = 200$ obținem $x = 800$ de lei.

Barem: prețul după prima ieftinire este $x - \dfrac{50}{100}\cdot x = \dfrac{x}{2}$, unde $x$ este prețul înainte de cele două ieftiniri (2p); prețul după a doua ieftinire este $\dfrac{x}{2} - \dfrac{50}{100}\cdot\dfrac{x}{2} = \dfrac{x}{4}$, deci $\dfrac{x}{4} = 200$, de unde obținem $x = 800$ de lei (3p).

Cum $O(0,0)$ și $B(6,2)$, mijlocul segmentului $OB$ este $C(3,1)$. Atunci $AC = \sqrt{(4 - 3)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Barem: $C(3,1)$ (2p); $AC = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ (3p).

Cu valorile din tabelul funcțiilor trigonometrice, $\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$. Atunci $2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, deci diferența lor este $0$.

Barem: $\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ (3p); $2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} - \sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$ (2p).

$3 \ast 3 = 3\cdot 3 - 3 - 2\cdot 3 + 4 = 9 - 3 - 6 + 4 = 4$.

Barem: $3 \ast 3 = 3\cdot 3 - 3 - 2\cdot 3 + 4$ (3p); $= 9 - 3 - 6 + 4 = 4$ (2p).

$x \ast (-2) = x(-2) - x - 2(-2) + 4 = -2x - x + 4 + 4 = -3x + 8$. Ecuația $-3x + 8 = x$ dă $4x = 8$, deci $x = 2$.

Barem: $x \ast (-2) = -3x + 8$, pentru orice număr real $x$ (3p); $-3x + 8 = x$, de unde obținem $x = 2$ (2p).

$(-x) \ast x = (-x)x - (-x) - 2x + 4 = -x^{2} + x - 2x + 4 = -x^{2} - x + 4$. Ecuația $-x^{2} - x + 4 = 2x$ devine $x^{2} + 3x - 4 = 0$, cu soluțiile $x = -4$ și $x = 1$.

Barem: $(-x) \ast x = -x^{2} - x + 4$, pentru orice număr real $x$ (2p); $-x^{2} - x + 4 = 2x$, deci $x^{2} + 3x - 4 = 0$, de unde obținem $x = -4$ sau $x = 1$ (3p).

$x \ast y = xy - x - 2y + 4 = (xy - 2y) - (x - 2) + 2 = y(x - 2) - (x - 2) + 2 = (x - 2)(y - 1) + 2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Barem: $x \ast y = xy - 2y - x + 2 + 2$ (2p); $= y(x - 2) - (x - 2) + 2 = (x - 2)(y - 1) + 2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3p).

Folosind forma $x \ast y = (x - 2)(y - 1) + 2$, avem $4 \ast a = 2(a - 1) + 2 = 2a$ și $4 \ast (4 \ast a) = 4 \ast 2a = 2(2a - 1) + 2 = 4a$. Ecuația $4a = \dfrac{1}{a}$ dă $a^{2} = \dfrac{1}{4}$, deci $a = -\dfrac{1}{2}$ sau $a = \dfrac{1}{2}$, ambele nenule.

Barem: $4 \ast a = 2a$ și $4 \ast (4 \ast a) = 4a$, pentru orice număr real $a$ (2p); $4a = \dfrac{1}{a}$, de unde obținem $a = -\dfrac{1}{2}$ sau $a = \dfrac{1}{2}$, care convin (3p).

Cu forma $n \ast p = (n - 2)(p - 1) + 2$, ecuația devine $(n - 2)(p - 1) + 2 - p = 0$, adică $(n - 2)(p - 1) - (p - 1) = -1$, deci $(n - 3)(p - 1) = -1$. Cum $n$ și $p$ sunt numere naturale, factorii sunt $1$ și $-1$: pentru $n - 3 = -1$ și $p - 1 = 1$ obținem $(2, 2)$, iar pentru $n - 3 = 1$ și $p - 1 = -1$ obținem $(4, 0)$.

Barem: $n \ast p = (n - 2)(p - 1) + 2$, deci $(n - 2)(p - 1) + 2 = p$ (2p); $(n - 3)(p - 1) = -1$, de unde obținem perechile $(2, 2)$ și $(4, 0)$ (3p).

Pentru $x = 2$ obținem $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, deci $\det\big(A(2)\big) = 2\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = -2 + 4 = 2$.

Barem: $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ și $\det\big(A(2)\big) = 2\cdot(-1) - 2\cdot(-2)$ (3p); $= -2 + 4 = 2$ (2p).

$3A(2) = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}$ și $A(4) = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$, deci $3A(2) - A(4) = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$. Cum $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, avem $\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 2A(1)$, deci $a = 1$.

Barem: $3A(2) - A(4) = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 2A(1)$ (3p); $2A(a) = 2A(1)$, de unde obținem $a = 1$ (2p).

$\det\big(A(x)\big) = (4 - x)(1 - x) - x(-x) = 4 - 5x + x^{2} + x^{2} = 2x^{2} - 5x + 4$. Ecuația $2x^{2} - 5x + 4 = x$ devine $2x^{2} - 6x + 4 = 0$, adică $x^{2} - 3x + 2 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$.

Barem: $\det\big(A(x)\big) = 2x^{2} - 5x + 4$, pentru orice număr real $x$ (2p); $2x^{2} - 5x + 4 = x$, deci $x^{2} - 3x + 2 = 0$, de unde obținem $x = 1$ sau $x = 2$ (3p).

$I_{2} - A(2) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, deci $B = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Înmulțind, $A(2)\cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{2}$ și, analog, $B\cdot A(2) = I_{2}$, deci $B = \big(A(2)\big)^{-1}$.

Barem: $B = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (2p); $A(2)\cdot B = B\cdot A(2) = I_{2}$, deci matricea $B$ este inversa matricei $A(2)$ (3p).

$A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} 16 - 8x & 5x - 2x^{2} \\ -5x + 2x^{2} & 1 - 2x \end{pmatrix}$. Egalitatea cu $yI_{2}$ cere ca elementele de pe diagonala secundară să fie nule, deci $x(5 - 2x) = 0$, și ca elementele de pe diagonala principală să fie egale, deci $16 - 8x = 1 - 2x$, adică $x = \dfrac{5}{2}$. Atunci $y = 1 - 2\cdot\dfrac{5}{2} = -4$.

Barem: $A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} 16 - 8x & 5x - 2x^{2} \\ -5x + 2x^{2} & 1 - 2x \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ (3p); din egalitatea cu $yI_{2}$ obținem $x = \dfrac{5}{2}$ și $y = -4$ (2p).

Ecuația se scrie $\big(I_{2} - A(2)\big)X = A(3)$, unde $I_{2} - A(2) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ are determinantul $2 \ne 0$ și inversa $\dfrac{1}{2}A(2)$. Prin urmare $X = \dfrac{1}{2}A(2)\cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{1}{2} & -2 \end{pmatrix}$.

Barem: $\big(I_{2} - A(2)\big)\cdot X = A(3)$ și, cum $\big(I_{2} - A(2)\big)^{-1} = \dfrac{1}{2}A(2)$, obținem $X = \dfrac{1}{2}A(2)\cdot A(3)$ (3p); $X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{1}{2} & -2 \end{pmatrix}$ (2p).