Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Determinanți

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Determinantul de ordin 2

Regula diagonalelor: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Idee

Determinantul ca arie

Modulul determinantului de ordin 2 este aria paralelogramului format de coloane ca vectori. Dacă $\det A = 0$ , vectorii sunt coliniari.

Formulă

Regula lui Sarrus

La ordin 3: trei produse pe diagonalele descendente (cu plus) minus trei produse pe diagonalele ascendente (cu minus).

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Sfat

Dezvoltă după linia cu zerouri

Sfat: la dezvoltarea după o linie, semnele alternează $+, -, +$ , iar fiecare element se înmulțește cu minorul lui. Alege linia cu cele mai multe zerouri ca să scapi de calcule.

Idee

Când determinantul este 0

Determinantul este 0 dacă o linie e numai zerouri sau dacă două linii sunt egale ori proporționale. Interschimbarea a două linii îi schimbă semnul, iar înmulțirea unei linii cu $k$ îl înmulțește cu $k$ .

Formulă

Determinantul unui produs

Determinantul respectă înmulțirea matricelor și nu se schimbă la transpunere:

\det(AB) = \det A \cdot \det B, \qquad \det(A^{t}) = \det A

Formulă

Inversa de ordin 2

Dacă $\det A = ad - bc \neq 0$ , inversa se obține schimbând diagonala principală și semnul celei secundare, apoi împărțind la determinant:

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Sfat

Inversabilă înseamnă determinant nenul

Capcană: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă $\det A \neq 0$ . Verifică întâi determinantul; dacă este 0, inversa nu există.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul II.1.adin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$ , unde $a$ este număr real.

Arătați că $\det\big(A(1)\big) = 2$ .

Vezi rezolvarea

$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Cu regula lui Sarrus, $\det\big(A(1)\big) = 1\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 0 + 1\cdot 1\cdot 2 - 0\cdot 3\cdot 1 - 2\cdot 1\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 1 = 3 + 0 + 2 - 0 - 2 - 1 = 2$ .

Subiectul III.1din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricele $I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 4 - x & x \\ -x & 1 - x \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

Arătați că $\det\big(A(2)\big) = 2$ .

Vezi rezolvarea

Pentru $x = 2$ obținem $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ , deci $\det\big(A(2)\big) = 2\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = -2 + 4 = 2$ .

Subiectul II.1.adin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricele $I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 2 & -a \\ a - 3 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $a$ este număr real.

Arătați că $\det\big(A(1)\big) = 2$ .

Vezi rezolvarea

Pentru $a = 1$ obținem $A(1) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ , deci $\det\big(A(1)\big) = 4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2) = 4 - 2 = 2$ .

Subiectul II.1.adin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x - 1 & 2 \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

Arătați că $\det\big(A(4)\big) = 5$ .

Vezi rezolvarea

Pentru $x = 4$ obținem $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , deci $\det\big(A(4)\big) = 4\cdot 2 - 1\cdot 3 = 8 - 3 = 5$ .

Toate lecțiile de Matematică

Determinanți

Pe scurt

Determinantul de ordin 2

Determinantul ca arie

Regula lui Sarrus

Dezvoltă după linia cu zerouri

Când determinantul este 0

Determinantul unui produs

Inversa de ordin 2

Inversabilă înseamnă determinant nenul

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.