Sisteme liniare și ecuații matriceale

Dezvoltând determinantul matricei sistemului, $\det\big(A(a)\big) = a^{2} - 2a + 3$. Scriind $a^{2} - 2a + 3 = (a - 1)^{2} + 2 \ge 2 > 0$, determinantul este nenul pentru orice număr real $a$, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Ecuația se scrie $\big(I_{2} - A(2)\big)X = A(3)$, unde $I_{2} - A(2) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ are determinantul $2 \ne 0$ și inversa $\dfrac{1}{2}A(2)$. Prin urmare $X = \dfrac{1}{2}A(2)\cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{1}{2} & -2 \end{pmatrix}$.

Cum $\det\big(A(1)\big) = 2 \ne 0$, matricea $A(1)$ este inversabilă și $X = 4\big(A(1)\big)^{-1}\big(A(1)\big)^{-1}$. Avem $\big(A(1)\big)^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, deci $X = 4\begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{4} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{9}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$.

Calculăm mai întâi produsul, cu $M(-1) = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$:

$$M(x) \cdot M(-1) = \begin{pmatrix} 4 - 3x & -6 + 6x \\ 2x - 2 & -3x + 4 \end{pmatrix},$$

apoi adunăm $M(y)$:

$$M(x) \cdot M(-1) + M(y) = \begin{pmatrix} 6 - 3x & -6 + 6x + 3y \\ 2x - 2 + y & -3x + 6 \end{pmatrix}.$$

Membrul drept este

$$12 M(-1) = \begin{pmatrix} 24 & -36 \\ -12 & 24 \end{pmatrix}.$$

Egalând elementele de pe diagonala principală: $6 - 3x = 24$, deci $x = -6$. Înlocuind în poziția din dreapta sus: $-6 + 6 \cdot (-6) + 3y = -36$, adică $3y = 6$, deci $y = 2$. Ultima poziție se verifică: $2 \cdot (-6) - 2 + 2 = -12$.