Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Limite de șiruri și funcții

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Idee

Șir convergent

Un șir este convergent dacă are limită finită: termenii se strâng oricât de mult în jurul unui număr $L$ . Orice șir monoton și mărginit este convergent (Weierstrass).

Formulă

Limite uzuale de șiruri

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n\to\infty} q^{n} = 0\ (|q|<1), \quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e

Formulă

Operații cu limite

Pentru șiruri cu limite finite $a$ și $b$ :

\lim(a_n+b_n)=a+b,\quad \lim(a_n b_n)=ab,\quad \lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\ (b\neq 0)

Sfat

Raport de polinoame în n

La $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cu $n\to\infty$ compară gradele: grad mai mic sus $\to 0$ ; grade egale $\to$ raportul coeficienților dominanți; grad mai mare sus $\to \pm\infty$ .

Idee

Limita există prin limite laterale

$\lim_{x\to a} f(x)$ există dacă și numai dacă limitele laterale sunt egale: $\lim_{x\to a^{-}} f(x) = \lim_{x\to a^{+}} f(x)$ .

Sfat

Limita prin substituție

La funcțiile uzuale definite în $a$ (polinomiale, raționale fără anulare la numitor etc.), limita se obține înlocuind $x$ cu $a$ : $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ .

Formulă

Cazurile de nedeterminare

\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^{\infty},\ \infty^{0},\ 0^{0}

Sfat

Ridicarea lui 0 supra 0

O nedeterminare $\dfrac{0}{0}$ la funcții raționale se ridică prin factorizare și simplificare a factorului care se anulează; la $\infty-\infty$ cu radicali, amplifică cu conjugata.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = e^{x}(2x - 4) + x^2 - 2x + 4$ .

Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{1 - e^{x}} = 4$ .

Vezi rezolvarea

$f(0) = e^{0}(-4) + 4 = 0$ și $1 - e^{0} = 0$ , deci limita este de forma $\frac{0}{0}$ . Aplicând regula lui l'Hôpital, $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{1-e^{x}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{2(x-1)(e^{x}+1)}{-e^{x}} = \dfrac{2(-1)(2)}{-1} = 4$ .

Subiectul III.2.cdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = (x^{2} + 2x)e^{-x}$ .

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = (x^{2} + 2x)e^{-x}$ . Demonstrați că $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\int_0^x f(t)\,dt\right) = 1$ .

Vezi rezolvarea

Fie $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ . Cum $F(0) = 0$ , limita $\lim_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{x^{2}}$ este de forma $\dfrac{0}{0}$ . Aplicând regula lui l'Hôpital și folosind $F'(x) = f(x)$ , obținem $\lim_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{2x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{(x^{2} + 2x)e^{-x}}{2x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{(x + 2)e^{-x}}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} = 1$ .

Subiectul III.1.cdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9$ .

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9$ . Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)} = 0$ .

Vezi rezolvarea

$f''(x) = 3(2x + 4)$ , deci $\dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)} = \dfrac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)}$ . Limita este de forma $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; aplicând de două ori regula lui l'Hôpital, $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x + 4}{e^x(2x + 6)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2}{e^x(2x + 8)} = 0$ .

Subiectul III.1.bdin Simulare Matematică M_șt-nat — Model BAC · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = (x^2 - 5)\sqrt{x}$ .

Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2}$ .

Vezi rezolvarea

Cum $x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x} = 2x^2$ , avem $\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2} = \dfrac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}$ . Trecând la limită, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2} = \dfrac{5}{2}$ .

Toate lecțiile de Matematică

Limite de șiruri și funcții

Pe scurt

Șir convergent

Limite uzuale de șiruri

Operații cu limite

Raport de polinoame în n

Limita există prin limite laterale

Limita prin substituție

Cazurile de nedeterminare

Ridicarea lui 0 supra 0

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.