BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2023 (Varianta 1)

$3\cdot\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = 3\cdot\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Barem: $3\cdot\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = 3\cdot\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}$ (3p); $= \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} = 4$ (2p).

$f(a) = a + 2$. Condiția $f(a) = 6$ devine $a + 2 = 6$, de unde obținem $a = 4$.

Barem: $f(a) = a + 2$ (2p); $a + 2 = 6$, de unde obținem $a = 4$ (3p).

Ecuația are sens pentru $2x + 1 > 0$. Cum funcția logaritmică este injectivă, din $\log_7(2x + 1) = \log_7 9$ rezultă $2x + 1 = 9$, deci $x = 4$, valoare care verifică condiția de existență.

Barem: $2x + 1 = 9$ (3p); $x = 4$, care convine (2p).

Mulțimea $A$ are $23$ de elemente, deci sunt $23$ de cazuri posibile. Numerele $n \in A$ care verifică $n \ge 10$ sunt $10, 11, \ldots, 23$, adică $14$ numere, deci $14$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{14}{23}$.

Barem: mulțimea $A$ are $23$ de elemente, deci sunt $23$ de cazuri posibile (2p); în mulțimea $A$ sunt $14$ numere $n$ care verifică inegalitatea $n \ge 10$, deci sunt $14$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{14}{23}$ (3p).

Fie $M$ mijlocul segmentului $AB$. Atunci $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0$ și $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$, deci $M(0, 4)$.

Barem: $x_M = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ (3p); $y_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$ (2p).

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci, conform teoremei lui Pitagora, $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$. Cum $AB = AC = \sqrt{2}$, triunghiul $ABC$ este isoscel.

Barem: $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{2}$ (3p); $AB = AC$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel (2p).

$\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\cdot 1 - 2\cdot 2 = 3 - 4 = -1$.

Barem: $\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\cdot 1 - 2\cdot 2$ (3p); $= 3 - 4 = -1$ (2p).

$2B = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$, deci $2B - A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3C$.

Barem: $2B - A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ (3p); $= 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3C$ (2p).

Avem $B + 2C = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$. Cum $\det A = -1$, $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$. Din $2X \cdot A = B + 2C$ rezultă $X = \dfrac{1}{2}(B + 2C)\cdot A^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 18 & -28 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Barem: $B + 2C = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$ și $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ (3p); $X = \dfrac{1}{2}(B + 2C)\cdot A^{-1}$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (2p).

$5 * 4 = (5 - 4)(4 - 4) + 4 = 1\cdot 0 + 4 = 4$.

Barem: $5 * 4 = (5 - 4)(4 - 4) + 4$ (3p); $= 1\cdot 0 + 4 = 4$ (2p).

$x * 6 = (x - 4)(6 - 4) + 4 = 2(x - 4) + 4 = 2x - 4$. Condiția $x * 6 = 6x$ devine $2x - 4 = 6x$, adică $4x = -4$, deci $x = -1$.

Barem: $x * 6 = 2x - 4$, pentru orice număr real $x$ (3p); $2x - 4 = 6x$, de unde obținem $x = -1$ (2p).

$\dfrac{4}{n} * n = \left(\dfrac{4}{n} - 4\right)(n - 4) + 4$, deci inegalitatea $\dfrac{4}{n} * n > 4$ devine $\left(\dfrac{4}{n} - 4\right)(n - 4) > 0$, adică $4\left(\dfrac{1}{n} - 1\right)(n - 4) > 0$. Pentru $n$ natural nenul avem $\dfrac{1}{n} - 1 \le 0$, cu egalitate doar pentru $n = 1$; inegalitatea cere deci $\dfrac{1}{n} - 1 < 0$ și $n - 4 < 0$, de unde obținem $n = 2$ și $n = 3$.

Barem: $\left(\dfrac{4}{n} - 4\right)(n - 4) + 4 > 4 \iff \left(\dfrac{1}{n} - 1\right)(n - 4) > 0$, unde $n$ este număr natural nenul (2p); cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 2$ și $n = 3$ (3p).

$f'(x) = (x^3)' + (6x^2)' - (15x)' + (9)' = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Barem: $f'(x) = 3x^2 + 6\cdot 2x - 15$ (3p); $= 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5)$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

$f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5) = 3(x + 5)(x - 1)$, deci $f'(x) = 0 \iff x = -5$ sau $x = 1$. Cum $f'(x) \ge 0$ pe $(-\infty, -5]$ și pe $[1, +\infty)$, iar $f'(x) \le 0$ pe $[-5, 1]$, funcția $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -5]$, descrescătoare pe $[-5, 1]$ și crescătoare pe $[1, +\infty)$.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = -5$ sau $x = 1$ (2p); $f'(x) \ge 0$ pentru orice $x \in (-\infty, -5]$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -5]$, $f'(x) \le 0$ pentru orice $x \in [-5, 1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-5, 1]$ și $f'(x) \ge 0$ pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ (3p).

$f''(x) = 3(2x + 4)$, deci $\dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)} = \dfrac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)}$. Limita este de forma $\dfrac{\infty}{\infty}$; aplicând de două ori regula lui l'Hôpital, $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x + 4}{e^x(2x + 6)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2}{e^x(2x + 8)} = 0$.

Barem: $f''(x) = 3(2x + 4)$, $x \in \mathbb{R}$, deci $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x + 4}{e^x(2x + 6)}$ (3p); $= \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2}{e^x(2x + 8)} = 0$ (2p).

$(x + 9)\cdot f(x) = (x + 9)\cdot\dfrac{8x}{x + 9} = 8x$, deci $\int_0^1 (x + 9)\cdot f(x)\,dx = \int_0^1 8x\,dx = 4x^2\big|_0^1 = 4 - 0 = 4$.

Barem: $\int_0^1 (x + 9)\cdot f(x)\,dx = \int_0^1 8x\,dx = 4x^2\big|_0^1$ (3p); $= 4 - 0 = 4$ (2p).

$\dfrac{1}{8x}\cdot f(x) = \dfrac{1}{8x}\cdot\dfrac{8x}{x + 9} = \dfrac{1}{x + 9}$, deci $\int_1^6 \dfrac{1}{8x}\cdot f(x)\,dx = \int_1^6 \dfrac{1}{x + 9}\,dx = \ln(x + 9)\big|_1^6 = \ln 15 - \ln 10 = \ln\dfrac{3}{2}$.

Barem: $\int_1^6 \dfrac{1}{8x}\cdot f(x)\,dx = \int_1^6 \dfrac{1}{x + 9}\,dx = \int_1^6 \dfrac{(x + 9)'}{x + 9}\,dx = \ln(x + 9)\big|_1^6$ (3p); $= \ln 15 - \ln 10 = \ln\dfrac{3}{2}$ (2p).

$f(x^2) = \dfrac{8x^2}{x^2 + 9} = 8\left(1 - \dfrac{9}{x^2 + 9}\right)$, deci $\int_0^3 f(x^2)\,dx = 8\int_0^3\left(1 - \dfrac{9}{x^2 + 9}\right)dx = 8x\big|_0^3 - 24\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3}\big|_0^3 = 24 - 24\cdot\dfrac{\pi}{4} = 24 - 6\pi$. Din $24 - 6\pi = 6(4 + a\pi)$ obținem $a = -1$.

Barem: $\int_0^3 f(x^2)\,dx = \int_0^3 \dfrac{8x^2}{x^2 + 9}\,dx = 8\int_0^3\left(1 - \dfrac{9}{x^2 + 9}\right)dx = 8x\big|_0^3 - 8\cdot\dfrac{9}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3}\big|_0^3 = 24 - 6\pi$ (3p); $24 - 6\pi = 6(4 + a\pi)$, de unde obținem $a = -1$ (2p).