BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2023 (Varianta 1)

Fiecare radical este dintr-un pătrat perfect, deci se calculează exact:

$$\sqrt{25} = 5, \qquad \sqrt{64} = 8, \qquad \sqrt{169} = 13.$$

Atunci

$$\sqrt{25} + \sqrt{64} - \sqrt{169} = 5 + 8 - 13 = 13 - 13 = 0.$$

Se cere să se arate că √25 + √64 - √169 = 0. Barem: 3 puncte pentru calculul radicalilor (5 + 8 - 13), 2 puncte pentru finalizare (13 - 13 = 0).

Condiția $f(n) \ge g(n)$ se scrie

$$2n + 2 \ge n^2 + 2 \;\Longleftrightarrow\; 2n \ge n^2 \;\Longleftrightarrow\; n(n - 2) \le 0.$$

Produsul este negativ sau nul pentru $n \in [0,2]$, iar cum $n$ este număr natural, rămân

$$n \in \{0,\, 1,\, 2\}.$$

Verificare: $f(0) = g(0) = 2$, $f(1) = 4 \ge g(1) = 3$, $f(2) = g(2) = 6$, iar pentru $n = 3$ avem $f(3) = 8 < g(3) = 11$. Atenție să nu simplifici prin $n$ - ai pierde soluția $n = 0$.

Se cere determinarea numerelor naturale n pentru care f(n) ≥ g(n), unde f(x) = 2x + 2 și g(x) = x² + 2. Barem: 2 puncte pentru inecuația 2n + 2 ≥ n² + 2, 3 puncte pentru finalizare (2n ≥ n², deci n ∈ {0, 1, 2}).

Cum $\log_3 27 = 3$, ecuația devine

$$2 + \log_3 (2x - 1) = 3 \;\Longleftrightarrow\; \log_3 (2x - 1) = 1.$$

Din definiția logaritmului, $2x - 1 = 3^1 = 3$, deci $x = 2$.

Verificarea condiției de existență este obligatorie: pentru $x = 2$ avem $2x - 1 = 3 > 0$, deci soluția convine. Mulțimea soluțiilor este $\{2\}$.

Se cere rezolvarea ecuației 2 + log₃(2x - 1) = log₃27. Barem: 3 puncte pentru log₃(2x - 1) = 1, deci 2x - 1 = 3; 2 puncte pentru x = 2, care convine.

Fiecare scumpire se aplică prețului curent, nu celui inițial.

După prima scumpire:

$$150 + \frac{20}{100} \cdot 150 = 150 + 30 = 180 \text{ lei}.$$

După a doua scumpire:

$$180 + \frac{20}{100} \cdot 180 = 180 + 36 = 216 \text{ lei}.$$

Echivalent, cele două scumpiri înmulțesc prețul cu $1{,}2$ de două ori: $150 \cdot 1{,}2^2 = 150 \cdot 1{,}44 = 216$ lei. Observă că rezultatul nu este o scumpire totală de $40\%$ (care ar da 210 lei), ci de $44\%$.

Se cere prețul unui obiect de 150 de lei după două scumpiri succesive de câte 20%. Barem: 2 puncte pentru prețul după prima scumpire (150 + 20/100 · 150 = 180 lei), 3 puncte pentru prețul după a doua scumpire (180 + 20/100 · 180 = 216 lei).

Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}.$$

Înlocuind:

$$3 = \frac{0 + x_B}{2} \;\Rightarrow\; x_B = 6, \qquad 6 = \frac{4 + y_B}{2} \;\Rightarrow\; y_B = 8.$$

Deci $B(6,8)$.

Se cere determinarea coordonatelor punctului B, știind că M(3,6) este mijlocul segmentului AB, unde A(0,4). Barem: 3 puncte pentru relațiile 3 = (0 + xB)/2 și 6 = (4 + yB)/2; 2 puncte pentru xB = 6 și yB = 8.

Valorile trigonometrice ale unghiurilor remarcabile sunt

$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60° = \frac{1}{2}.$$

Calculăm cei doi termeni separat:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}, \qquad \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

Diferența lor este

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$$

ceea ce trebuia arătat.

Se cere să se arate că (√3/2)·sin60° - (1/√3)·cos30°·cos60° = 1/2. Barem: 3 puncte pentru valorile funcțiilor trigonometrice (sin60° = √3/2, cos30° = √3/2, cos60° = 1/2), 2 puncte pentru finalizarea calculului (3/4 - 1/4 = 1/2).

Înlocuim direct în definiția legii:

$$2 \ast (-2) = 2 + (-2) - 4 = 0 - 4 = -4.$$

Pentru legea x ∗ y = x + y - 4, se cere să se arate că 2 ∗ (-2) = -4. Barem: 3 puncte pentru înlocuirea în lege (2 + (-2) - 4), 2 puncte pentru finalizare (0 - 4 = -4).

Calculăm cele două compuneri, pentru orice numere reale $x$, $y$, $z$:

$$(x \ast y) \ast z = (x + y - 4) \ast z = (x + y - 4) + z - 4 = x + y + z - 8,$$

$$x \ast (y \ast z) = x \ast (y + z - 4) = x + (y + z - 4) - 4 = x + y + z - 8.$$

Cele două rezultate coincid pentru orice $x$, $y$, $z$ reale, deci legea „$\ast$" este asociativă.

Se cere demonstrarea asociativității legii x ∗ y = x + y - 4. Barem: 2 puncte pentru (x ∗ y) ∗ z = x + y + z - 8, 3 puncte pentru x ∗ (y ∗ z) = x + y + z - 8 și concluzie.

Legea fiind asociativă (punctul 2), compunerea se poate grupa oricum. Compunerea a $k$ numere adună numerele și scade $4$ de $k - 1$ ori:

$$1 \ast 2 \ast 3 = 1 + 2 + 3 - 2 \cdot 4 = -2, \qquad 4 \ast 5 \ast 6 = 4 + 5 + 6 - 2 \cdot 4 = 7.$$

Atunci

$$1 \ast 2 \ast 3 \ast 4 \ast 5 \ast 6 = (-2) \ast 7 = -2 + 7 - 4 = 1 > 0.$$

Direct: suma este $1+2+3+4+5+6 = 21$, din care se scade $5 \cdot 4 = 20$, deci rezultatul este $1$.

Se cere să se arate că 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 > 0 pentru legea x ∗ y = x + y - 4. Barem: 3 puncte pentru (1 ∗ 2 ∗ 3) ∗ (4 ∗ 5 ∗ 6) = (-2) ∗ 7, 2 puncte pentru finalizare (-2 + 7 - 4 = 1 > 0).

Calculăm ambii membri, pentru orice număr real $x$:

$$x \ast x \ast x = x + x + x - 2 \cdot 4 = 3x - 8,$$

$$(x + 1) \ast x = (x + 1) + x - 4 = 2x - 3.$$

Ecuația devine

$$3x - 8 = 2x - 3 \;\Longleftrightarrow\; x = 5.$$

Se cere numărul real x pentru care x ∗ x ∗ x = (x + 1) ∗ x. Barem: 2 puncte pentru x ∗ x ∗ x = 3x - 8 și (x + 1) ∗ x = 2x - 3; 3 puncte pentru rezolvarea ecuației 3x - 8 = 2x - 3, de unde x = 5.

Aplicăm legea:

$$4^x \ast 2^x = 4^x + 2^x - 4 = 2 \;\Longleftrightarrow\; 4^x + 2^x - 6 = 0.$$

Cum $4^x = (2^x)^2$, notăm $t = 2^x > 0$ și obținem ecuația de gradul al doilea

$$t^2 + t - 6 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (t - 2)(t + 3) = 0.$$

Soluția $t = -3$ se elimină, pentru că $2^x > 0$ pentru orice $x$ real. Rămâne $t = 2$, adică $2^x = 2^1$, deci

$$x = 1.$$

Se cere rezolvarea ecuației 4^x ∗ 2^x = 2 pentru legea x ∗ y = x + y - 4. Barem: 2 puncte pentru 4^x ∗ 2^x = 4^x + 2^x - 4; 3 puncte pentru rezolvarea prin substituție (4^x + 2^x - 6 = 0, deci (2^x - 2)(2^x + 3) = 0), de unde x = 1.

Aplicăm legea și transcriem inegalitatea cerută:

$$x^2 \ast \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 4 \ge -2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0.$$

Membrul stâng este un pătrat perfect:

$$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \ge 0,$$

adevărat pentru orice $x$ real nenul, ceea ce încheie demonstrația. Egalitatea are loc pentru $x = \pm 1$.

Se cere să se arate că x² ∗ 1/x² ≥ -2 pentru orice x real nenul, unde x ∗ y = x + y - 4. Barem: 2 puncte pentru transcrierea inegalității ca x² + 1/x² - 2 ≥ 0; 3 puncte pentru (x - 1/x)² ≥ 0 și concluzie.

Determinantul unei matrice de ordinul al doilea este diferența produselor diagonalelor:

$$\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 = -1 - 0 = -1.$$

Se cere calculul determinantului matricei A = ((1,0),(1,-1)). Barem: 3 puncte pentru dezvoltarea determinantului (1·(-1) - 0·1), 2 puncte pentru finalizare (-1 - 0 = -1).

Calculăm cele două produse:

$$A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2,$$

$$B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2.$$

Cele două produse sunt egale, deci diferența lor este matricea nulă:

$$A \cdot A - B \cdot B = I_2 - I_2 = O_2.$$

Ambele matrice sunt involutive ($A^2 = B^2 = I_2$), deși ele însele sunt diferite.

Se cere să se arate că A·A - B·B = O2. Barem: 2 puncte pentru A·A = I2, 3 puncte pentru B·B = I2 și concluzie.

De la punctul precedent, $A \cdot A = I_2$, deci

$$A \cdot A - x I_2 = \begin{pmatrix} 1 - x & 0 \\ 0 & 1 - x \end{pmatrix}, \qquad \det (A \cdot A - x I_2) = (1 - x)^2.$$

Ecuația $(1 - x)^2 = 0$ are soluția dublă

$$x = 1.$$

Se cere numărul real x pentru care det(A·A - x·I2) = 0. Barem: 3 puncte pentru A·A - x·I2 = ((1-x, 0),(0, 1-x)), deci determinantul este (1-x)²; 2 puncte pentru x = 1.

Calculăm membrul stâng, pentru orice număr real $x$:

$$A - B - x I_2 = \begin{pmatrix} 1 - 1 - x & 0 - 2 \\ 1 - 0 & -1 + 1 - x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x & -2 \\ 1 & -x \end{pmatrix}.$$

Două matrice sunt egale dacă au toate elementele egale, deci $-x = -2$, adică

$$x = 2.$$

Celelalte trei poziții se verifică automat.

Se cere numărul real x pentru care A - B - x·I2 = ((-2,-2),(1,-2)). Barem: 3 puncte pentru A - B - x·I2 = ((-x, -2),(1, -x)); 2 puncte pentru identificarea elementelor și x = 2.

Întâi suma, apoi înmulțirea cu scalarul:

$$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad a(A + B) = \begin{pmatrix} 2a & 2a \\ a & -2a \end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det (a(A + B)) = 2a \cdot (-2a) - 2a \cdot a = -4a^2 - 2a^2 = -6a^2.$$

Ecuația $-6a^2 = -6$ dă $a^2 = 1$, deci

$$a = -1 \quad \text{sau} \quad a = 1.$$

Se putea folosi și proprietatea $\det (aM) = a^2 \det M$ pentru matrice de ordinul al doilea, cu $\det (A + B) = -6$.

Se cere determinarea numerelor reale a pentru care det(a(A + B)) = -6. Barem: 3 puncte pentru a(A + B) = ((2a, 2a),(a, -2a)), deci determinantul este -6a²; 2 puncte pentru a = -1 sau a = 1.

Cum $\det A = -1 \neq 0$, matricea $A$ este inversabilă și ecuația are soluție unică:

$$X = A^{-1} \cdot B.$$

Inversa se calculează cu formula pentru ordinul al doilea:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = A$$

(matricea este propria ei inversă, ceea ce se vedea deja din $A \cdot A = I_2$). Atunci

$$X = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.$$

Atenție la ordinea factorilor: înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar din $A \cdot X = B$ se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$.

Se cere rezolvarea ecuației matriceale A·X = B în M2(R). Barem: 3 puncte pentru observația că A este inversabilă și X = A⁻¹·B; 2 puncte pentru rezultatul final X = ((1,2),(1,3)).