Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Inecuații de gradul II și poziția relativă dreaptă-parabolă

Clasa a IX-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Semnul trinomului de gradul II

Semnul trinomului $f(x) = ax^{2} + bx + c$ cu $\Delta > 0$ și rădăcini $x_1 < x_2$ :

semnul lui $a$ pentru $x < x_1$ sau $x > x_2$ ;
semn contrar lui $a$ pentru $x \in (x_1, x_2)$ ;
zero în rădăcinile $x_1$ și $x_2$ .

Sfat

Trinom fără rădăcini

Dacă $\Delta < 0$ , trinomul nu are rădăcini și păstrează semnul lui $a$ pe toată axa. Deci $ax^{2} + bx + c$ are mereu același semn, dat de coeficientul dominant $a$ .

Idee

Inecuația = citește semnul

A rezolva $ax^{2} + bx + c > 0$ înseamnă a găsi zonele unde parabola este deasupra axei $Ox$ . Pentru $< 0$ căutăm zonele de sub axă. Studiezi semnul trinomului, apoi citești intervalele.

Sfat

Strict sau nestrict

La inegalități stricte ( $>$ , $<$ ) rădăcinile nu intră în soluție; la cele nestricte ( $\ge$ , $\le$ ) rădăcinile intră, fiindcă acolo trinomul este zero.

Formulă

Poziția dreaptă-parabolă

Pentru poziția dreptei $y = mx + n$ față de $y = ax^{2} + bx + c$ , rezolvăm:

ax^{2} + (b - m)x + (c - n) = 0

$\Delta > 0$ : secantă (două puncte);
$\Delta = 0$ : tangentă (un punct);
$\Delta < 0$ : exterioară (niciun punct).

Sfat

Tangentă = soluție unică

O dreaptă este tangentă parabolei exact când ecuația lor comună are soluție unică, adică $\Delta = 0$ . Atunci dreapta atinge parabola într-un singur punct.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.2din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + 2$ , și $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = x^2 + 2$ . Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f(n) \ge g(n)$ .

Vezi rezolvarea

Condiția $f(n) \ge g(n)$ se scrie

$2n + 2 \ge n^2 + 2 \;\Longleftrightarrow\; 2n \ge n^2 \;\Longleftrightarrow\; n(n - 2) \le 0.$

Produsul este negativ sau nul pentru $n \in [0,2]$ , iar cum $n$ este număr natural, rămân

$n \in \{0,\, 1,\, 2\}.$

Verificare: $f(0) = g(0) = 2$ , $f(1) = 4 \ge g(1) = 3$ , $f(2) = g(2) = 6$ , iar pentru $n = 3$ avem $f(3) = 8 < g(3) = 11$ . Atenție să nu simplifici prin $n$ - ai pierde soluția $n = 0$ .

Toate lecțiile de Matematică

Inecuații de gradul II și poziția relativă dreaptă-parabolă

Pe scurt

Semnul trinomului de gradul II

Trinom fără rădăcini

Inecuația = citește semnul

Strict sau nestrict

Poziția dreaptă-parabolă

Tangentă = soluție unică

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.