Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Rezolvarea triunghiurilor

Clasa a IX-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Teorema sinusurilor

În orice triunghi, fiecare latură împărțită la sinusul unghiului opus dă același număr:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Idee

Raportul constant este un diametru

Numărul comun al rapoartelor din teorema sinusurilor nu este oarecare: el este exact diametrul cercului circumscris, $2R$ . Triunghiul își poartă cercul în formule.

Formulă

Aria cu sinus

Două laturi și unghiul cuprins între ele dau aria fără înălțime:

S = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2}

Formulă

Formula lui Heron

Din trei laturi, prin semiperimetrul $p = \frac{a+b+c}{2}$ :

S = \sqrt{p\,(p-a)(p-b)(p-c)}

Formulă

Raza cercului circumscris

Două drumuri spre raza cercului circumscris:

R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}

Formulă

Raza cercului înscris

Aria scrisă ca $S = r \cdot p$ dă imediat raza cercului înscris:

r = \frac{S}{p}

Sfat

Ce teoremă alegi

Citește datele înainte să calculezi: unghiuri din belșug înseamnă teorema sinusurilor; laturi din belșug (trei laturi sau două laturi cu unghiul cuprins) înseamnă teorema cosinusului.

Formulă

Înălțimea din arie

Orice înălțime se scoate din arie, citind invers formula bazei:

h_a = \frac{2S}{a}

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Arătați că $2\sin 45^{\circ}\cdot\sin 30^{\circ} - \sqrt{2}\cos 60^{\circ} = 0$ .

Vezi rezolvarea

Cu valorile din tabelul funcțiilor trigonometrice, $\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ . Atunci $2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , deci diferența lor este $0$ .

Subiectul I.6din BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 15$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^{\circ}$ . Arătați că $BC = 10\sqrt{3}$ .

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în $A$ , $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$ . Cum $\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , obținem $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{BC}$ , deci $BC = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ .

Subiectul I.6din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 16$ și $5 \cdot AB = 4 \cdot BC$ . Arătați că $AC = 12$ .

Vezi rezolvarea

Din relația $5 \cdot AB = 4 \cdot BC$ obținem ipotenuza:

$BC = \frac{5 \cdot 16}{4} = 20.$

Triunghiul fiind dreptunghic în $A$ , ipotenuza este $BC$ , iar teorema lui Pitagora dă

$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \;\Rightarrow\; AC = 12.$

Este triunghiul dreptunghic $12 - 16 - 20$ , adică $3 - 4 - 5$ mărit de patru ori.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $MNP$ , dreptunghic în $M$ , cu $MN = 4\cdot MP$ și $MN = 8$ . Arătați că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8$ .

Vezi rezolvarea

Din $MN = 4\cdot MP$ și $MN = 8$ obținem $MP = 2$ . Triunghiul fiind dreptunghic în $M$ , catetele sunt $MN$ și $MP$ , deci aria este $\dfrac{MN \cdot MP}{2} = \dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8$ .

Toate lecțiile de Matematică

Rezolvarea triunghiurilor

Pe scurt

Teorema sinusurilor

Raportul constant este un diametru

Aria cu sinus

Formula lui Heron

Raza cercului circumscris

Raza cercului înscris

Ce teoremă alegi

Înălțimea din arie

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.