Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Produsul scalar și aplicații geometrice

Clasa a IX-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Două fețe ale produsului scalar

Produsul scalar se calculează geometric sau direct pe coordonate:

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2

Idee

Rezultatul este un număr

Produsul scalar a doi vectori este un număr real, nu un vector. Caz special: $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^{2}$ , pătratul lungimii.

Formulă

Unghiul dintre doi vectori

\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Semnul lui $\vec{u} \cdot \vec{v}$ arată tipul unghiului: pozitiv pentru ascuțit, negativ pentru obtuz.

Sfat

Testul de perpendicularitate

Perpendicularitate fără unghi: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ . O înmulțire pe fiecare axă, o adunare, gata.

Formulă

Teorema cosinusului

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A

Pentru $A = 90^{\circ}$ devine teorema lui Pitagora: corecția $2bc\cos A$ dispare.

Sfat

Unghiul din trei laturi

Izolează cosinusul: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$ . Dacă rezultatul este negativ, unghiul $A$ este obtuz.

Formulă

Rapoartele din triunghiul dreptunghic

$\sin = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$
$\cos = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$
$\mathrm{tg} = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$

Sfat

Unghiul de 30 de grade

Cateta opusă unghiului de 30 de grade este exact jumătate din ipotenuză, pentru că $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $\operatorname{tg} B = \dfrac{1}{3}$ și aria egală cu $24$ . Arătați că $AC = 4$ .

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în $A$ , $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{3}$ , deci $AB = 3AC$ . Aria este $\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{3AC^{2}}{2} = 24$ , de unde $AC^{2} = 16$ și, cum $AC > 0$ , $AC = 4$ .

Subiectul I.6din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 2$ și $\operatorname{tg} B = 3$ . Arătați că $BC = 2\sqrt{10}$ .

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în $A$ , $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} = 3$ , deci $AC = 3 \cdot 2 = 6$ . Din teorema lui Pitagora, $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 4 + 36 = 40$ , deci $BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .

Subiectul I.6din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 4$ și $\cos B = \dfrac{2}{3}$ . Arătați că $BC = 6$ .

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în $A$ , $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$ , deci $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{BC}$ , de unde $BC = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$ .

Toate lecțiile de Matematică

Produsul scalar și aplicații geometrice

Pe scurt

Două fețe ale produsului scalar

Rezultatul este un număr

Unghiul dintre doi vectori

Testul de perpendicularitate

Teorema cosinusului

Unghiul din trei laturi

Rapoartele din triunghiul dreptunghic

Unghiul de 30 de grade

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.