BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1)

Rația este $r = a_{2} - a_{1} = 15 - 4 = 11$, deci $a_{3} = a_{2} + r = 15 + 11 = 26$.

Barem: $r = a_{2} - a_{1} = 11$, unde $r$ este rația progresiei (3p); $a_{3} = a_{2} + r = 26$ (2p).

$f(2) = 3\cdot 2 - 2 = 4$ și $f(a) = 3a - 2$. Ecuația devine $3a - 2 + 4 = 2a$, adică $a = -2$.

Barem: $f(2) = 4$, $f(a) = 3a - 2$, pentru orice număr real $a$ (2p); $3a - 2 + 4 = 2a$, de unde obținem $a = -2$ (3p).

Funcția logaritmică fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $x^{2} - 3x + 2 = 2 + x$, adică $x^{2} - 4x = 0$, cu soluțiile $x = 0$ și $x = 4$. Ambele verifică condițiile de existență $x^{2} - 3x + 2 > 0$ și $2 + x > 0$, deci convin.

Barem: $x^{2} - 3x + 2 = 2 + x$, de unde obținem $x^{2} - 4x = 0$ (2p); $x = 0$ sau $x = 4$, care convin (3p).

Numărul este par, deci cifra unităților este $2$ sau $8$, adică $2$ alegeri. Cifrele fiind distincte, cifra zecilor se alege dintre celelalte $5$ elemente ale mulțimii $A$. Prin regula produsului se pot forma $2 \cdot 5 = 10$ numere.

Barem: cifra unităților se poate alege în $2$ moduri (2p); pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $5$ moduri, deci se pot forma $2 \cdot 5 = 10$ numere (3p).

Cum $O(0,0)$ și $B(8,4)$, mijlocul segmentului $OB$ este $C(4,2)$. Atunci $AO = \sqrt{0^{2} + 5^{2}} = 5$ și $AC = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$, deci $AO = AC$.

Barem: $C(4,2)$ (2p); $AO = 5$, $AC = 5$, deci $AO = AC$ (3p).

În triunghiul dreptunghic în $A$, $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, deci $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{BC}$, de unde $BC = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$.

Barem: $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, deci $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{BC}$ (3p); $BC = \dfrac{3\cdot 4}{2} = 6$ (2p).

$\det A = (-2)\cdot 3 - 8\cdot(-1) = -6 + 8 = 2$.

Barem: $\det A = (-2)\cdot 3 - 8\cdot(-1)$ (3p); $= -6 + 8 = 2$ (2p).

$I_{2} - A = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, deci $B = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} & -4 \\ \dfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}$. Înmulțind, $A\cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} & -4 \\ \dfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{2}$ și, analog, $B\cdot A = I_{2}$, deci $B = A^{-1}$.

Barem: $I_{2} - A = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} & -4 \\ \dfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}$ (3p); $A \cdot B = B \cdot A = I_{2}$, deci matricea $B$ este inversa matricei $A$ (2p).

Din punctul b), $A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left(I_{2} - A\right)$, deci $A - I_{2} = -2A^{-1}$. Ecuația devine $-2A^{-1}X = 2A$, adică $X = -A\cdot A$. Cum $A^{2} = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} -4 & 8 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, obținem $X = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Barem: cum $A - I_{2} = -2A^{-1}$, obținem $-2A^{-1}\cdot X = 2A$, deci $X = -A\cdot A$ (3p); $X = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (2p).

$1 \ast 4 = 1 + 4 - \sqrt{1 \cdot 4} = 5 - 2 = 3$.

Barem: $1 \ast 4 = 1 + 4 - \sqrt{1\cdot 4}$ (3p); $= 5 - 2 = 3$ (2p).

Pentru $x \ge 0$, $\sqrt{x \cdot 9x} = \sqrt{9x^{2}} = 3x$, deci $x \ast (9x) = x + 9x - 3x = 7x$. Ecuația $7x = x^{2}$ dă $x(x - 7) = 0$, deci $x = 0$ sau $x = 7$, ambele în $M$.

Barem: $x \ast (9x) = x + 9x - \sqrt{9x^{2}} = 7x$, pentru orice $x \in M$ (2p); $7x = x^{2}$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 7$, care convin (3p).

$\sqrt{2^{x}\cdot 2^{x + 2}} = \sqrt{2^{2x + 2}} = 2^{x + 1}$, deci $2^{x} \ast 2^{x + 2} = 2^{x} + 4\cdot 2^{x} - 2\cdot 2^{x} = 3\cdot 2^{x}$. Ecuația $3\cdot 2^{x} = 6^{x} = 2^{x}\cdot 3^{x}$ se simplifică prin $2^{x} > 0$ și devine $3^{x} = 3$, deci $x = 1$.

Barem: $2^{x} \ast 2^{x + 2} = 2^{x} + 2^{x + 2} - 2^{x + 1} = 2^{x}\cdot 3$, pentru orice număr real $x$ (3p); $2^{x}\cdot 3 = 6^{x}$, deci $3^{x} = 3$, de unde obținem $x = 1$ (2p).

Cu regula câtului și $\left(2\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(x^{2} + x + 2\right) - 2\sqrt{x}(2x + 1)}{\left(x^{2} + x + 2\right)^{2}}$. Aducând numărătorul la același numitor, acesta devine $\dfrac{x^{2} + x + 2 - 2x(2x + 1)}{\sqrt{x}} = \dfrac{-3x^{2} - x + 2}{\sqrt{x}}$, de unde forma cerută.

Barem: $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(x^{2} + x + 2\right) - 2\sqrt{x}(2x + 1)}{\left(x^{2} + x + 2\right)^{2}}$ (3p); $= \dfrac{x^{2} + x + 2 - 4x^{2} - 2x}{\left(x^{2} + x + 2\right)^{2}\sqrt{x}} = \dfrac{-3x^{2} - x + 2}{\left(x^{2} + x + 2\right)^{2}\sqrt{x}}$, $x \in (0, +\infty)$ (2p).

Gradul numitorului depășește ordinul de creștere al numărătorului, deci $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2} + x + 2} = 0$. Limita fiind finită, dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2} + x + 2} = 0$ (3p); dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2p).

Tangenta este paralelă cu axa $Ox$ exact când panta ei este nulă, adică $f'(a) = 0$. Numitorul fiind strict pozitiv pe $(0, +\infty)$, condiția devine $-3a^{2} - a + 2 = 0$, cu rădăcinile $a = -1$ și $a = \dfrac{2}{3}$. Cum $a \in (0, +\infty)$, rămâne $a = \dfrac{2}{3}$.

Barem: tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a, f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox$ dacă și numai dacă $f'(a) = 0$, $a \in (0, +\infty)$ (3p); $\dfrac{-3a^{2} - a + 2}{\left(a^{2} + a + 2\right)^{2}\sqrt{a}} = 0$, de unde obținem $a = -1$, care nu convine, sau $a = \dfrac{2}{3}$, care convine (2p).

$f(x) - 3x - 3 = x^{3}$, deci $\displaystyle\int_{0}^{2} x^{3}\, dx = \dfrac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = \dfrac{16}{4} = 4$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(f(x) - 3x - 3\big)dx = \int_{0}^{2} x^{3}\, dx = \dfrac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}$ (3p); $= 4 - 0 = 4$ (2p).

$f(x) - x^{3} = 3x + 3$, deci integrandul este $\dfrac{1}{(3x + 3)^{2}}$. Cum $(3x + 3)' = 3$, o primitivă este $-\dfrac{1}{3(3x + 3)}$, iar integrala este $-\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{18}$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(f(x) - x^{3}\right)^{2}}\, dx = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\dfrac{(3x + 3)'}{(3x + 3)^{2}}\, dx = -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3x + 3}\Big|_{0}^{1}$ (3p); $= -\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{18}$ (2p).

$\dfrac{f(x) - 3}{x^{2}} = \dfrac{x^{3} + 3x}{x^{2}} = x + \dfrac{3}{x}$. Integrând prin părți, $\displaystyle\int_{1}^{e} x\ln x\, dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\right)\Big|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\dfrac{x}{2}\, dx = \dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{e^{2} - 1}{4} = \dfrac{e^{2} + 1}{4}$, iar $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{3\ln x}{x}\, dx = \dfrac{3\ln^{2} x}{2}\Big|_{1}^{e} = \dfrac{3}{2}$. Suma este $\dfrac{e^{2} + 1}{4} + \dfrac{6}{4} = \dfrac{e^{2} + 7}{4}$, deci $m = 7$.

Barem: $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{f(x) - 3}{x^{2}}\ln x\, dx = \int_{1}^{e}\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'\ln x\, dx + \int_{1}^{e}\dfrac{3\ln x}{x}\, dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2}\ln x - \dfrac{x^{2}}{4}\right)\Big|_{1}^{e} + \dfrac{3\ln^{2} x}{2}\Big|_{1}^{e} = \dfrac{e^{2} + 7}{4}$ (3p); $\dfrac{e^{2} + m}{4} = \dfrac{e^{2} + 7}{4}$, de unde obținem $m = 7$ (2p).