Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Permutări și aranjamente

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Numărul funcțiilor

Numărul funcțiilor $f : A \to B$ , când $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ elemente, este:

n^{m}

Idee

Regula produsului

Când o alegere se face în pași independenți, numărul total de variante este produsul variantelor de la fiecare pas, nu suma lor.

Formulă

Permutări

Numărul ordonărilor complete ale unei mulțimi cu $n$ elemente:

P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Sfat

Convenția pentru zero factorial

Atenție: prin convenție $0! = 1$ (nu 0). La fel, $1! = 1$ .

Formulă

Aranjamente

Numărul selecțiilor ORDONATE de $k$ elemente din $n$ (cu $k \le n$ ):

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Idee

La aranjamente ordinea contează

Într-un aranjament, $(a, b)$ și $(b, a)$ sunt diferite. Un aranjament corespunde unei funcții injective: elemente distincte, imagini distincte.

Sfat

Permutare sau aranjament?

Întreabă-te: folosesc toate elementele sau doar $k$ dintre ele?

Toate, în ordine: permutare $P_n$ .
Doar $k$ , în ordine: aranjament $A_n^k$ .

Idee

Permutarea este un caz al aranjamentului

Când alegem și ordonăm TOATE elementele, aranjamentul devine permutare: $A_n^n = P_n = n!$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.4din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 8\}$ .

Vezi rezolvarea

Numărul este par, deci cifra unităților este $2$ sau $8$ , adică $2$ alegeri. Cifrele fiind distincte, cifra zecilor se alege dintre celelalte $5$ elemente ale mulțimii $A$ . Prin regula produsului se pot forma $2 \cdot 5 = 10$ numere.

Subiectul I.4din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = \{3, 4, 5, 6\}$ .

Vezi rezolvarea

Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $4$ cifre ale mulțimii $A$ . După alegerea ei, cifra unităților trebuie să fie diferită, deci se poate alege în $3$ moduri. În total se pot forma $4 \cdot 3 = 12$ numere.

Toate lecțiile de Matematică

Permutări și aranjamente

Pe scurt

Numărul funcțiilor

Regula produsului

Permutări

Convenția pentru zero factorial

Aranjamente

La aranjamente ordinea contează

Permutare sau aranjament?

Permutarea este un caz al aranjamentului

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.