Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Ecuații trigonometrice

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Soluțiile ecuației sin x = a

Dacă $a \in [-1, 1]$ , toate soluțiile sunt:

x = (-1)^{k}\arcsin a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sfat

Verifică întâi domeniul

$\sin x = a$ și $\cos x = a$ au soluții doar pentru $a \in [-1, 1]$ . Dacă $|a| > 1$ , mulțimea soluțiilor este vidă. Tangenta nu are această restricție.

Formulă

Soluțiile ecuației cos x = a

Dacă $a \in [-1, 1]$ , soluțiile simetrice dau:

x = \pm\arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Idee

Sinus versus cosinus

La sinus apare $(-1)^{k}$ și pasul $k\pi$ ; la cosinus apare $\pm$ și pasul $2k\pi$ . Nu le amesteca!

Formulă

Soluțiile ecuației tg x = a

Pentru orice $a \in \mathbb{R}$ :

x = \operatorname{arctg} a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sfat

Tangenta are pasul π

Tangenta are perioada $\pi$ , deci pasul soluțiilor este $k\pi$ , nu $2k\pi$ , și nu apar nici $\pm$ , nici $(-1)^{k}$ . La fel, $\operatorname{ctg} x = a$ dă $x = \operatorname{arcctg} a + k\pi$ .

Formulă

Egal sau suplementar

Pentru $\sin f = \sin g$ , cele două cazuri sunt:

f = g + 2k\pi \quad \text{sau} \quad f = \pi - g + 2k\pi

Idee

Cele trei familii de ecuații

$\sin f = \sin g$ : egale sau suplementare
$\cos f = \cos g \Leftrightarrow f = \pm g + 2k\pi$
$\operatorname{tg} f = \operatorname{tg} g \Leftrightarrow f = g + k\pi$

Toate lecțiile de Matematică

Ecuații trigonometrice

Pe scurt

Soluțiile ecuației sin x = a

Verifică întâi domeniul

Soluțiile ecuației cos x = a

Sinus versus cosinus

Soluțiile ecuației tg x = a

Tangenta are pasul π

Egal sau suplementar

Cele trei familii de ecuații

Începe azi. Bacul nu așteaptă.