BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2023 (Varianta 1)

Desfacem paranteza: $3\left(2\sqrt{3} - 1\right) = 6\sqrt{3} - 3$. Atunci $4 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 = 4 - 3 = 1$.

Barem: $4 - 6\sqrt{3} + 3\left(2\sqrt{3} - 1\right) = 4 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3$ (3p); $= 4 - 3 = 1$ (2p).

Condiția $f(a) = g(a)$ devine $5a - 3 = 2a + 3$, adică $3a = 6$, deci $a = 2$.

Barem: $5a - 3 = 2a + 3$ (3p); $a = 2$ (2p).

$2^{2x+1} \cdot 2^{3} = 2^{2x+4}$, deci ecuația devine $2^{2x+4} = 2^{0}$. Funcția exponențială fiind injectivă, $2x + 4 = 0$, de unde $x = -2$.

Barem: $2^{2x+4} = 2^{0}$, de unde obținem $2x + 4 = 0$ (3p); $x = -2$ (2p).

Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $4$ cifre ale mulțimii $A$. După alegerea ei, cifra unităților trebuie să fie diferită, deci se poate alege în $3$ moduri. În total se pot forma $4 \cdot 3 = 12$ numere.

Barem: cifra zecilor se poate alege în $4$ moduri (2p); pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte $3$ moduri, deci sunt $4 \cdot 3 = 12$ numere (3p).

Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\dfrac{4+0}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = M(2, 1)$. Atunci $MO = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ și $MC = \sqrt{(3-2)^{2} + (3-1)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$, deci $MO = MC$.

Barem: $M(2, 1)$, de unde obținem $MO = \sqrt{5}$ (3p); $MC = \sqrt{5}$, deci $MO = MC$ (2p).

Pentru $x = \dfrac{\pi}{6}$ avem $2x = \dfrac{\pi}{3}$, deci $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Atunci $E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Barem: $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (3p); $E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$ (2p).

Pentru $a = 0$ obținem $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Atunci $\det(A(0)) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$.

Barem: $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, deci $\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$ (3p); $= 3 - 2 = 1$ (2p).

$A(a) - A(0) = \begin{pmatrix} 3+a & 2-2a \\ 1-a & 1+3a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -2a \\ -a & 3a \end{pmatrix}$. Atunci $A(0) \cdot \left(A(a) - A(0)\right) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & -2a \\ -a & 3a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = aI_2$, pentru orice număr real $a$.

Barem: $A(a) - A(0) = \begin{pmatrix} a & -2a \\ -a & 3a \end{pmatrix}$ (2p); $A(0) \cdot \left(A(a) - A(0)\right) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = aI_2$, pentru orice număr real $a$ (3p).

$A(a^{2}) = \begin{pmatrix} 3+a^{2} & 2-2a^{2} \\ 1-a^{2} & 1+3a^{2} \end{pmatrix}$ și $aA(a) = \begin{pmatrix} 3a+a^{2} & 2a-2a^{2} \\ a-a^{2} & a+3a^{2} \end{pmatrix}$, deci $A(a^{2}) - aA(a) = \begin{pmatrix} 3-3a & 2-2a \\ 1-a & 1-a \end{pmatrix}$. Atunci $\det\left(A(a^{2}) - aA(a)\right) = (3-3a)(1-a) - (2-2a)(1-a) = 3(1-a)^{2} - 2(1-a)^{2} = (1-a)^{2} \ge 0$, pentru orice număr real $a$.

Barem: $A(a^{2}) = \begin{pmatrix} 3+a^{2} & 2-2a^{2} \\ 1-a^{2} & 1+3a^{2} \end{pmatrix}$ și $A(a^{2}) - aA(a) = \begin{pmatrix} 3-3a & 2-2a \\ 1-a & 1-a \end{pmatrix}$ (2p); $\det\left(A(a^{2}) - aA(a)\right) = 3(1-a)^{2} - 2(1-a)^{2} = (1-a)^{2} \ge 0$, pentru orice număr real $a$ (3p).

$0 \circ 2 = 0^{2} - 4 \cdot 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} = 0 - 0 + 12 = 12$.

Barem: $0 \circ 2 = 0^{2} - 4 \cdot 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2}$ (3p); $= 0 - 0 + 12 = 12$ (2p).

$(2x) \circ x = (2x)^{2} - 4 \cdot (2x) \cdot x + 3x^{2} = 4x^{2} - 8x^{2} + 3x^{2} = -x^{2}$. Ecuația $(2x) \circ x = -1$ devine $-x^{2} = -1$, adică $x^{2} = 1$, deci $x = -1$ sau $x = 1$.

Barem: $(2x) \circ x = -x^{2}$, pentru orice număr real $x$ (2p); $-x^{2} = -1$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 1$ (3p).

$m \circ n = m^{2} - 4mn + 3n^{2} = (m - n)(m - 3n)$. Ecuația $m \circ n = 3$ devine $(m - n)(m - 3n) = 3$. Cum $m < n$, avem $m - n < 0$, iar produsul fiind pozitiv rezultă și $m - 3n < 0$. Descompunând $3 = (-1) \cdot (-3) = (-3) \cdot (-1)$: pentru $m - n = -1$ și $m - 3n = -3$ obținem $n = 1$, $m = 0$; pentru $m - n = -3$ și $m - 3n = -1$ obținem $n = -1$, $m = -4$. Perechile căutate sunt $(-4, -1)$ și $(0, 1)$.

Barem: $m \circ n = m^{2} - mn - 3mn + 3n^{2} = (m - n)(m - 3n)$, pentru orice numere întregi $m$ și $n$ (2p); $(m - n)(m - 3n) = 3$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi cu $m < n$, obținem perechile $(-4, -1)$ și $(0, 1)$ (3p).

Derivând cu regula câtului, $f'(x) = \left(5 + \dfrac{4x - 4}{x^{2}}\right)' = \dfrac{4 \cdot x^{2} - (4x - 4) \cdot 2x}{x^{4}} = \dfrac{4x^{2} - 8x^{2} + 8x}{x^{4}} = \dfrac{4x(2 - x)}{x^{4}} = \dfrac{4(2 - x)}{x^{3}}$, $x \in (0, +\infty)$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{4x^{2} - (4x - 4) \cdot 2x}{x^{4}}$ (3p); $= \dfrac{4x(2 - x)}{x^{4}} = \dfrac{4(2 - x)}{x^{3}}$, $x \in (0, +\infty)$ (2p).

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\left(5 + \dfrac{4x - 4}{x^{2}}\right) = \lim_{x\to+\infty}\left(5 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{4}{x^{2}}\right) = 5$. Deci dreapta de ecuație $y = 5$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Barem: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\left(5 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{4}{x^{2}}\right) = 5$ (3p); dreapta de ecuație $y = 5$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2p).

Din $f'(x) = \dfrac{4(2 - x)}{x^{3}}$ rezultă $f'(x) = 0 \iff x = 2$. Pe $[1, 2]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare, iar pe $[2, +\infty)$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare. Cum $f(1) = 5$, $f(2) = 6$ și $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 5$, valorile funcției pe $[1, +\infty)$ satisfac $5 \le f(x) \le 6$. Prin urmare, pentru orice $x, y \in [1, +\infty)$, $|f(x) - f(y)| \le 6 - 5 = 1$.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = 2$; pentru orice $x \in [1, 2]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, 2]$, iar pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[2, +\infty)$ (2p); $f(1) = 5$, $f(2) = 6$ și $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 5$, deci $5 \le f(x) \le 6$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, de unde obținem $|f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $x, y \in [1, +\infty)$ (3p).

$f(x) - 4\ln x = 3x^{2} + 4\ln x - 4\ln x = 3x^{2}$. Atunci $\int_1^2 \left(f(x) - 4\ln x\right)\,dx = \int_1^2 3x^{2}\,dx = x^{3}\big|_1^2 = 8 - 1 = 7$.

Barem: $\int_1^2 \left(f(x) - 4\ln x\right)\,dx = \int_1^2 3x^{2}\,dx = x^{3}\big|_1^2$ (3p); $= 8 - 1 = 7$ (2p).

$x\left(f(x) - 3x^{2}\right) = x \cdot 4\ln x = 4x\ln x$. Integrând prin părți cu $(2x^{2})' = 4x$, $\int_1^e 4x\ln x\,dx = 2x^{2}\ln x\big|_1^e - \int_1^e 2x^{2} \cdot \dfrac{1}{x}\,dx = 2x^{2}\ln x\big|_1^e - x^{2}\big|_1^e = (2e^{2} - 0) - (e^{2} - 1) = e^{2} + 1$.

Barem: $\int_1^e x\left(f(x) - 3x^{2}\right)\,dx = \int_1^e 4x\ln x\,dx = \int_1^e (2x^{2})'\ln x\,dx = 2x^{2}\ln x\big|_1^e - x^{2}\big|_1^e$ (3p); $= 2e^{2} - 0 - e^{2} + 1 = e^{2} + 1$ (2p).

Cum $F$ este o primitivă a lui $f$, avem $F'(x) = f(x)$, deci $F''(x) = f'(x)$. Atunci $\int_1^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx = \int_1^{\sqrt{e}} f(x)f'(x)\,dx = \dfrac{f^{2}(x)}{2}\Big|_1^{\sqrt{e}}$. Cum $f(\sqrt{e}) = 3e + 2$ și $f(1) = 3$, obținem $\dfrac{f^{2}(\sqrt{e}) - f^{2}(1)}{2} = \dfrac{(3e + 2)^{2} - 3^{2}}{2} = \dfrac{(3e - 1)(3e + 5)}{2}$.

Barem: $F'(x) = f(x) \Rightarrow F''(x) = f'(x)$, $x \in (0, +\infty)$ (2p); $\int_1^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx = \int_1^{\sqrt{e}} f(x)f'(x)\,dx = \dfrac{f^{2}(x)}{2}\Big|_1^{\sqrt{e}} = \dfrac{(3e + 2)^{2} - 3^{2}}{2} = \dfrac{(3e - 1)(3e + 5)}{2}$ (3p).