tomomi
Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice

Clasa a IX-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Grade și radiani

Treci dintr-o unitate în alta pornind de la jumătatea de cerc:

π rad=180∘,1∘=π180 rad\pi\ \text{rad} = 180^{\circ}, \qquad 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}
Idee

Punctul de pe cerc

Pe cercul de rază 1, unghiul tt fixează punctul M(cos⁡t, sin⁡t)M(\cos t,\ \sin t): abscisa este cosinusul, ordonata este sinusul.

Formulă

Tangenta

tg⁡t=sin⁡tcos⁡t,cos⁡t≠0\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \cos t \neq 0
Sfat

Semnele pe cadrane

Semnul lui sin⁡\sin urmează ordonata, al lui cos⁡\cos urmează abscisa. În cadranul I toate sunt pozitive; apoi, în sens trigonometric, rămân pozitive pe rând doar sin⁡\sin, apoi tg⁡\operatorname{tg}, apoi cos⁡\cos.

Formulă

Identitatea fundamentală

sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1
Formulă

Reducerea la primul cadran

sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π−t)=−cos⁡t\sin(\pi - t) = \sin t, \qquad \cos(\pi - t) = -\cos t
Idee

Periodicitate și paritate

sin⁡\sin și cos⁡\cos se repetă din 2π2\pi în 2π2\pi. cos⁡\cos este pară (cos⁡(−t)=cos⁡t\cos(-t) = \cos t), iar sin⁡\sin este impară (sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t) = -\sin t).

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră expresia E(x)=(1+tg⁡2x)sin⁡x2+cos⁡3xE(x) = \left(1 + \operatorname{tg}^{2} x\right)\sin\dfrac{x}{2} + \cos 3x, unde x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=1E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1.

Vezi rezolvarea

Pentru x=π3x = \dfrac{\pi}{3} avem tg⁡π3=3\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}, deci 1+tg⁡2π3=1+3=41 + \operatorname{tg}^{2}\dfrac{\pi}{3} = 1 + 3 = 4. Apoi sin⁡x2=sin⁡π6=12\sin\dfrac{x}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} și cos⁡3x=cos⁡π=−1\cos 3x = \cos\pi = -1. Prin urmare E(π3)=4⋅12−1=2−1=1E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Se consideră expresia E(x)=2sin⁡x⋅cos⁡x2+(sin⁡3x4)2E(x) = 2\sin x \cdot \cos\dfrac{x}{2} + \left(\sin\dfrac{3x}{4}\right)^{2}. Arătați că E(π3)=2E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2.

Vezi rezolvarea

Pentru x=π3x = \dfrac{\pi}{3} avem sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡x2=cos⁡π6=32\cos\dfrac{x}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡3x4=sin⁡π4=22\sin\dfrac{3x}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Atunci E(π3)=2⋅32⋅32+(22)2=32+24=32+12=2E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2.

Subiectul I.6din BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră E(x)=2sin⁡xsin⁡2x−cos⁡xE(x) = 2\sin x \sin 2x - \cos x, unde xx este număr real. Arătați că E(π6)=0E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0.

Vezi rezolvarea

Pentru x=π6x = \dfrac{\pi}{6} avem 2x=π32x = \dfrac{\pi}{3}, deci sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Atunci E(π6)=2⋅12⋅32−32=32−32=0E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.

Toate lecțiile de Matematică

Descarcă

Începe azi. Bacul nu așteaptă.

Descarcă Tomomi pe telefonul copilului tău și pornește perioada de probă gratuită.

Get it onGoogle PlayDownload on theApp StoreSau direct în browserstudent.tomomi.app