Simulare Matematică M_tehnologic — Model BAC

$\left(3 + 3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{2} + 4 = 6 + 4 = 10$.

Barem: $\left(3+3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4$ (2p); $= 6 + 4 = 10$ (3p).

$f(0) = 3\cdot 0 + 6 = 6$ și $f(2) = 3\cdot 2 + 6 = 12$, deci $f(0) + f(2) = 6 + 12 = 18$. Cum $f(4) = 3\cdot 4 + 6 = 18$, rezultă $f(0) + f(2) = f(4)$.

Barem: $f(0) = 6$, $f(2) = 12$ (2p); $f(4) = 18$, deci $f(0) + f(2) = f(4)$ (3p).

Condiția de existență este $2x - 1 \ge 0$. Ecuația devine $\sqrt{2x-1} = 3$, deci $2x - 1 = 9$, de unde $2x = 10$, adică $x = 5$. Verificare: $\sqrt{2\cdot 5 - 1} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 0$, deci $x = 5$ convine.

Barem: $\sqrt{2x-1} = 3$, deci $2x - 1 = 9$ (3p); $x = 5$, care convine (2p).

Ieftinirea este de $\dfrac{25}{100}\cdot 400 = 100$ de lei. Prețul obiectului după ieftinire este $400 - 100 = 300$ de lei.

Barem: $\dfrac{25}{100}\cdot 400 = 100$ de lei (reducerea) (2p); prețul obiectului după ieftinire este $400 - 100 = 300$ de lei (3p).

$AC = \sqrt{(6-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$ și $BC = \sqrt{(6-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$. Cum $AC = BC = \sqrt{17}$, triunghiul $ABC$ este isoscel.

Barem: $AC = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ (2p); $BC = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$, deci $AC = BC$, de unde obținem că triunghiul $ABC$ este isoscel (3p).

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (cu unghiul drept în $A$), $\cos C = \dfrac{AC}{BC}$. Cum $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$, rezultă $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{1}{2}$, adică $\dfrac{4}{BC} = \dfrac{1}{2}$, de unde $BC = 8$.

Barem: $\cos C = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{1}{2}$ (3p); $\dfrac{4}{BC} = \dfrac{1}{2}$, de unde obținem $BC = 8$ (2p).

$A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, deci $\det\big(A(3)\big) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 3 - 2 = 1$.

Barem: $A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(3)\big) = 1\cdot 3 - 1\cdot 2$ (3p); $= 3 - 2 = 1$ (2p).

$A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2A(4)$.

Barem: $A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ (3p); $= 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2A(4)$ (2p).

$A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$. Egalitatea $A(x)\cdot A(x) = 3I_2$ devine $\begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Din $1 + x = 0$, $2 + 2x = 0$ și $2 + x^2 = 3$ obținem $x = -1$.

Barem: $A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ (3p); $\begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = -1$ (2p).

$1 \circ (-3) = 1 + (-3) + 6 = 4$.

Barem: $1 \circ (-3) = 1 + (-3) + 6$ (3p); $= 4$ (2p).

$x \circ 2 = x + 2 + 6 = x + 8$, pentru orice număr real $x$. Ecuația $x \circ 2 = 3x$ devine $x + 8 = 3x$, deci $2x = 8$, adică $x = 4$.

Barem: $x \circ 2 = x + 2 + 6 = x + 8$, pentru orice număr real $x$ (3p); $x + 8 = 3x$, de unde obținem $x = 4$ (2p).

$\left(x^2 + 2\right) \circ (1 - 6x) = \left(x^2 + 2\right) + (1 - 6x) + 6 = x^2 - 6x + 9$, pentru orice număr real $x$. Cum $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \ge 0$ pentru orice număr real $x$, rezultă $\left(x^2 + 2\right) \circ (1 - 6x) \ge 0$.

Barem: $\left(x^2 + 2\right) \circ (1 - 6x) = x^2 - 6x + 9$, pentru orice număr real $x$ (2p); $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \ge 0$, pentru orice număr real $x$ (3p).

Aplicând regula de derivare a câtului, $f'(x) = \dfrac{(5x-2)'(x-1) - (5x-2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \dfrac{5(x-1) - (5x-2)\cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{5x - 5 - 5x + 2}{(x-1)^2} = -\dfrac{3}{(x-1)^2}$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{(5x-2)'(x-1) - (5x-2)(x-1)'}{(x-1)^2}$ (3p); $= \dfrac{5(x-1) - (5x-2)}{(x-1)^2} = -\dfrac{3}{(x-1)^2}$, $x\in(1,+\infty)$ (2p).

$f(2) = \dfrac{5\cdot 2 - 2}{2 - 1} = 8$ și, cum $f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2}$, avem $f'(2) = -\dfrac{3}{(2-1)^2} = -3$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 2$ este $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$, adică $y - 8 = -3(x - 2)$, deci $y = -3x + 14$.

Barem: $f(2) = 8$, $f'(2) = -3$ (2p); ecuația tangentei este $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$, adică $y = -3x + 14$ (3p).

Cum $f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} = -3(x-1)^{-2}$, obținem $f''(x) = -3\cdot(-2)(x-1)^{-3} = \dfrac{6}{(x-1)^3}$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$. Pentru orice $x\in(1,+\infty)$ avem $x - 1 > 0$, deci $(x-1)^3 > 0$ și $f''(x) \ge 0$. Prin urmare funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty)$.

Barem: $f''(x) = \dfrac{6}{(x-1)^3}$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$ (3p); $f''(x) \ge 0$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$, deci funcția $f$ este convexă (2p).

$f(x) - 3 = 2x + 3 - 3 = 2x$, deci $\displaystyle\int_0^1 \big(f(x) - 3\big)\,dx = \int_0^1 2x\,dx = x^2\Big|_0^1 = 1 - 0 = 1$.

Barem: $\displaystyle\int_0^1 \big(f(x) - 3\big)\,dx = \int_0^1 2x\,dx = x^2\Big|_0^1$ (3p); $= 1 - 0 = 1$ (2p).

Integrând prin părți, $\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx = \int_0^1 e^x (2x+3)\,dx = e^x(2x+3)\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\cdot 2\,dx = (5e - 3) - 2e^x\Big|_0^1 = 5e - 3 - (2e - 2) = 3e - 1$.

Barem: $\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx = \int_0^1 e^x (2x+3)\,dx = e^x(2x+3)\Big|_0^1 - \int_0^1 2e^x\,dx = 5e - 3 - 2e^x\Big|_0^1$ (3p); $= 5e - 3 - 2e + 2 = 3e - 1$ (2p).

Cum $x(x+3) = x^2 + 3x$ și $(x^2+3x)' = 2x + 3 = f(x)$, avem $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x(x+3)}\,dx = \int_1^2 \dfrac{(x^2+3x)'}{x^2+3x}\,dx = \ln(x^2+3x)\Big|_1^2 = \ln 10 - \ln 4 = \ln\dfrac{10}{4} = \ln\dfrac{5}{2}$. Din $\ln\dfrac{5}{2} = \ln\dfrac{a}{2}$ rezultă $a = 5$, care convine deoarece $a\in(0,+\infty)$.

Barem: $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x(x+3)}\,dx = \int_1^2 \dfrac{2x+3}{x^2+3x}\,dx = \int_1^2 \dfrac{(x^2+3x)'}{x^2+3x}\,dx = \ln(x^2+3x)\Big|_1^2 = \ln\dfrac{5}{2}$ (3p); $\ln\dfrac{5}{2} = \ln\dfrac{a}{2}$, de unde obținem $a = 5$, care convine (2p).