Simulare Matematică M_șt-nat — Model BAC

Rația progresiei aritmetice este $r = a_4 - a_3 = 25 - 19 = 6$. Cum $a_3 = a_1 + 2r$, obținem $a_1 = a_3 - 2r = 19 - 2\cdot 6 = 7$.

Barem: rația progresiei este $r = a_4 - a_3 = 6$ (3p); $a_1 = a_3 - 2r = 19 - 12 = 7$ (2p).

Avem $f(2) = 2\cdot 2 + a = 4 + a$. Din condiția $f(2) = 8$ rezultă $4 + a = 8$, deci $a = 4$.

Barem: $f(2) = 4 + a$ (2p); din $4 + a = 8$ obține $a = 4$ (3p).

Ecuația se scrie $5^{2-x} - 5^{-4}\cdot 5^{2x} = 0$, adică $5^{2-x} = 5^{2x-4}$. Bazele fiind egale, $2 - x = 2x - 4$, de unde $3x = 6$, deci $x = 2$.

Barem: $5^{2-x} - 5^{-4}\cdot 5^{2x} = 0$, deci $5^{2-x} = 5^{2x-4}$, de unde $2 - x = 2x - 4$ (3p); $x = 2$ (2p).

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu $6$ elemente este $C_6^2 = \dfrac{6!}{2!\,4!} = \dfrac{6\cdot 5}{2} = 15$.

Barem: numărul submulțimilor cu două elemente este $C_6^2 = \dfrac{6!}{2!\,4!}$ (3p); $= 15$ (2p).

Mijlocul $D$ al segmentului $OA$, cu $O(0,0)$ și $A(2,2)$, este $D\left(\dfrac{0+2}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = D(1,1)$. Mijlocul $E$ al segmentului $BC$, cu $B(2,0)$ și $C(8,2)$, este $E\left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = E(5,1)$. Atunci $DE = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16} = 4$.

Barem: $D(1,1)$ și $E(5,1)$ (2p); $DE = 4$ (3p).

În triunghiul dreptunghic în $A$, $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, deci $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6}{BC}$, de unde $BC = 4\sqrt{3}$. Triunghiul fiind dreptunghic în $A$, ipotenuza $BC$ este diametru al cercului circumscris, deci $R = \dfrac{BC}{2} = 2\sqrt{3}$.

Barem: $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, deci $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6}{BC}$, de unde $BC = 4\sqrt{3}$ (3p); $R = \dfrac{BC}{2}$, deci $R = 2\sqrt{3}$ (2p).

$\det A = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 0 + 2 = 2$.

Barem: $\det A = 0\cdot 4 - (-1)\cdot 2$ (3p); $= 0 + 2 = 2$ (2p).

Avem $M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ și $M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Atunci $M(2)\cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2M(1)$. Din $M(2)\cdot A = x M(1)$ rezultă $2M(1) = x M(1)$, deci $x = 2$.

Barem: $M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, $M(2)\cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2M(1)$ (3p); $2M(1) = x M(1)$, de unde obține $x = 2$ (2p).

$M(a) - 2I_2 = \begin{pmatrix} a-2 & 1 \\ 2-2a & -a \end{pmatrix}$, deci $\big(M(a)-2I_2\big)\cdot M(a) = \begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$. Egalitatea $\big(M(a)-2I_2\big)\cdot M(a) = (a+2)I_2$ devine $\begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2 & 0 \\ 0 & a+2 \end{pmatrix}$, deci $a^2 - 4a + 2 = a + 2$, adică $a^2 - 5a = 0$, de unde $a = 0$ sau $a = 5$.

Barem: $M(a) - 2I_2 = \begin{pmatrix} a-2 & 1 \\ 2-2a & -a \end{pmatrix}$, $\big(M(a)-2I_2\big)\cdot M(a) = \begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix}$ (3p); din $\begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2 & 0 \\ 0 & a+2 \end{pmatrix}$ obține $a = 0$ sau $a = 5$ (2p).

$9 \circ 8 = (9 - 6)(8 - 6) + 6 = 3\cdot 2 + 6 = 6 + 6 = 12$.

Barem: $9 \circ 8 = (9-6)(8-6) + 6$ (3p); $= 6 + 6 = 12$ (2p).

Pentru orice număr real $x$, $x \circ 7 = (x - 6)(7 - 6) + 6 = (x - 6) + 6 = x$ și $7 \circ x = (7 - 6)(x - 6) + 6 = (x - 6) + 6 = x$. Prin urmare $e = 7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

Barem: $x \circ 7 = (x-6)(7-6) + 6 = x - 6 + 6 = x$, pentru orice număr real $x$ (2p); $7 \circ x = (7-6)(x-6) + 6 = x - 6 + 6 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 7$ este elementul neutru al legii „$\circ$” (3p).

Pentru orice număr real nenul $x$, $x \circ \dfrac{6}{x} = (x - 6)\left(\dfrac{6}{x} - 6\right) + 6 = \dfrac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6$. Ecuația $\dfrac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6 = 6x$ devine, după înmulțire cu $x$ și reducere, $x^2 - 4x + 3 = 0$, de unde $x = 1$ sau $x = 3$ (ambele nenule, convin).

Barem: $x \circ \dfrac{6}{x} = \dfrac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6$, pentru orice număr real nenul $x$ (2p); din $\dfrac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6 = 6x$ obține $x^2 - 4x + 3 = 0$, de unde $x = 1$ sau $x = 3$, care convin (3p).

Aplicând regula de derivare a produsului, $f'(x) = (x^2 - 5)'\sqrt{x} + (x^2 - 5)(\sqrt{x})' = 2x\sqrt{x} + (x^2 - 5)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x^2 + x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$, pentru orice $x\in(0,\infty)$.

Barem: $f'(x) = 2x\sqrt{x} + (x^2 - 5)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (3p); $= \dfrac{5x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$, $x\in(0,\infty)$ (2p).

Cum $x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x} = 2x^2$, avem $\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}} = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2} = \dfrac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}$. Trecând la limită, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2} = \dfrac{5}{2}$.

Barem: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}$ (3p); $= \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2} = \dfrac{5}{2}$ (2p).

Din $f'(x) = \dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$ și $x > 0$, $f'(x) = 0 \iff x = 1$. Pentru $x\in(0,1]$ avem $f'(x)\le 0$ ($f$ descrescătoare), iar pentru $x\in[1,\infty)$ avem $f'(x)\ge 0$ ($f$ crescătoare). Dacă $x\in[0,2]$, atunci $x+2\in[2,4]$, deci $f(x)\ge f(1)$ (minimul lui $f$) și $f(x+2)\le f(4)$ (pe $[2,4]$ $f$ este crescătoare). Cum $f(1) = (1-5)\sqrt{1} = -4$ și $f(4) = (16-5)\sqrt{4} = 22$, obținem $f(x+2) - f(x)\le f(4) - f(1) = 22 - (-4) = 26$, pentru orice $x\in[0,2]$.

Barem: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$; pentru orice $x\in(0,1]$, $f'(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ și, pentru orice $x\in[1,\infty)$, $f'(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,\infty)$ (2p); $x\in[0,2] \Rightarrow x+2\in[2,4]$, deci $f(x)\ge f(1)$ și $f(x+2)\le f(4)$ și, cum $f(1) = -4$ și $f(4) = 22$, obține $f(x+2) - f(x)\le 26$, pentru orice $x\in[0,2]$ (3p).

$f(x) - 4\ln x = x^2$, deci $\displaystyle\int_1^2 \big(f(x) - 4\ln x\big)\,dx = \int_1^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$.

Barem: $\displaystyle\int_1^2 \big(f(x) - 4\ln x\big)\,dx = \int_1^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2$ (3p); $= \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ (2p).

$f(x) - x^2 = 4\ln x$, deci $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - x^2}{x}\,dx = \int_1^e \dfrac{4\ln x}{x}\,dx = 4\int_1^e \ln x\,(\ln x)'\,dx = 2\ln^2 x\,\Big|_1^e = 2\ln^2 e - 2\ln^2 1 = 2 - 0 = 2$.

Barem: $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - x^2}{x}\,dx = \int_1^e \dfrac{4\ln x}{x}\,dx = 4\int_1^e \ln x\,(\ln x)'\,dx = 2\ln^2 x\,\Big|_1^e$ (3p); $= 2\ln^2 e - 2\ln^2 1 = 2$ (2p).

Observăm că $f(x)f''(x) + (f'(x))^2 = \big(f(x)f'(x)\big)'$, deci $\displaystyle\int_1^2 \big(f(x)f''(x) + (f'(x))^2\big)\,dx = f(x)f'(x)\Big|_1^2 = f(2)f'(2) - f(1)f'(1)$. Cum $f'(x) = 2x + \dfrac{4}{x}$, avem $f'(1) = 2 + 4 = 6$ și $f'(2) = 4 + 2 = 6$, deci integrala este $6\big(f(2) - f(1)\big)$. Din egalitatea $6\big(f(2) - f(1)\big) = m\big(f(2) - f(1)\big)$ și $f(1)\neq f(2)$, obținem $m = 6$.

Barem: $\displaystyle\int_1^2 \big(f(x)f''(x) + (f'(x))^2\big)\,dx = \int_1^2 \big(f(x)f'(x)\big)'\,dx = f(x)f'(x)\big|_1^2 = f(2)f'(2) - f(1)f'(1)$ (3p); $f'(x) = 2x + \dfrac{4}{x}$, deci $f'(1) = f'(2) = 6$, de unde $6\big(f(2) - f(1)\big) = m\big(f(2) - f(1)\big)$ și, cum $f(1)\neq f(2)$, obține $m = 6$ (2p).