BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2024 (Varianta 10)

Rația progresiei geometrice este $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{8}{4} = 2$, deci $b_3 = b_2\cdot q = 8\cdot 2 = 16$.

Barem: rația progresiei este $q = \dfrac{b_2}{b_1} = 2$ (3p); $b_3 = b_2\cdot q = 16$ (2p).

$f(a) = 7a + 2$. Condiția $f(a) = 9$ devine $7a + 2 = 9$, adică $7a = 7$, deci $a = 1$.

Barem: $f(a) = 7a + 2$, pentru orice număr real $a$ (2p); $7a + 2 = 9$, de unde obținem $a = 1$ (3p).

Din injectivitatea funcției logaritmice, ecuația conduce la $2x + 3 = 3x + 1$, de unde $x = 2$. Pentru $x = 2$ avem $2x + 3 = 7 > 0$ și $3x + 1 = 7 > 0$, deci $x = 2$ convine.

Barem: $2x + 3 = 3x + 1$ (3p); $x = 2$, care convine (2p).

Notăm cu $x$ prețul obiectului înainte de scumpire. Scumpirea cu $25\%$ înseamnă $\dfrac{25}{100}\cdot x = 50$, adică $\dfrac{x}{4} = 50$, deci $x = 200$ de lei.

Barem: $\dfrac{25}{100}\cdot x = 50$, unde $x$ este prețul obiectului înainte de scumpire (3p); $x = 200$ de lei (2p).

Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{4+4}{2}\right) = M(4,4)$. Atunci $BM = \sqrt{(8-4)^2 + (4-4)^2} = 4$ și $CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-4)^2} = 4$, deci $BM = CM$.

Barem: $M(4,4)$ (2p); $BM = 4$ și $CM = 4$, deci $BM = CM$ (3p).

Triunghiul fiind dreptunghic în $A$, din teorema lui Pitagora avem $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$. Perimetrul este $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 12 + 13 + 5 = 30$.

Barem: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = 5$ (3p); $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 30$ (2p).

$1 \circ 1 = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Barem: $1 \circ 1 = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + 1$ (3p); $= 1 + 1 + 1 = 3$ (2p).

$x \circ x = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 1 = \dfrac{2}{x} + 1$. Condiția $x \circ x = 2$ devine $\dfrac{2}{x} + 1 = 2$, adică $\dfrac{2}{x} = 1$, deci $x = 2$, care convine.

Barem: $x \circ x = \dfrac{2}{x} + 1$, pentru orice $x \in M$ (3p); $\dfrac{2}{x} + 1 = 2$, de unde obținem $x = 2$, care convine (2p).

$y \circ x = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + 1 = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + 1 = x \circ y$, pentru orice $x \in M$ și $y \in M$. Deci legea de compoziție ,,$\circ$'' este comutativă.

Barem: $y \circ x = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + 1$ (3p); $= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + 1 = x \circ y$, pentru orice $x \in M$ și $y \in M$, deci legea de compoziție ,,$\circ$'' este comutativă (2p).

$x \circ \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\frac{1}{x}} + 1 = \dfrac{1}{x} + x + 1 = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$. Condiția $x \circ \dfrac{1}{x} = 3$ devine $\dfrac{x^2 + x + 1}{x} = 3$, adică $x^2 - 2x + 1 = 0$, echivalent cu $(x - 1)^2 = 0$, deci $x = 1$, care convine.

Barem: $x \circ \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$, pentru orice $x \in M$ (2p); $\dfrac{x^2 + x + 1}{x} = 3$, deci $x^2 - 2x + 1 = 0$, de unde obținem $x = 1$, care convine (3p).

$(n+1) \circ (n+1) = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+1} + 1 = \dfrac{2}{n+1} + 1$. Acesta este număr natural dacă și numai dacă $\dfrac{2}{n+1}$ este număr natural, adică $n + 1$ este divizor natural al lui $2$. Cum $n$ este număr natural, obținem $n + 1 \in \{1, 2\}$, deci $n = 0$ și $n = 1$, care convin.

Barem: $(n+1) \circ (n+1) = \dfrac{2}{n+1} + 1$, pentru orice număr natural $n$ (2p); $(n+1) \circ (n+1)$ este număr natural dacă $n + 1$ este divizor natural al lui $2$, de unde obținem $n = 0$ și $n = 1$, care convin (3p).

Notăm $t = \log_2 x$; cum $x \in (1, +\infty)$, avem $t > 0$ și $\log_x 2 = \dfrac{1}{t}$. Atunci $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{1/t} + 1 = \dfrac{1}{t} + t + 1$. Ecuația $\dfrac{1}{t} + t + 1 = \dfrac{7}{2}$ devine $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}$, adică $2t^2 - 5t + 2 = 0$, deci $t = 2$ sau $t = \dfrac{1}{2}$. Rezultă $\log_2 x = 2$, deci $x = 4$, sau $\log_2 x = \dfrac{1}{2}$, deci $x = \sqrt{2}$, ambele în $(1, +\infty)$.

Barem: $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_x 2} + 1$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ (2p); folosind $\dfrac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$, ecuația $\dfrac{1}{\log_2 x} + \log_2 x + 1 = \dfrac{7}{2}$ dă $\log_2 x = 2$ sau $\log_2 x = \dfrac{1}{2}$, de unde $x = 4$ sau $x = \sqrt{2}$, care convin (3p).

$A(6) = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, deci $\det(A(6)) = \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 8\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4$.

Barem: $A(6) = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, deci $\det(A(6)) = 8\cdot 0 - 2\cdot 2$ (3p); $= 0 - 4 = -4$ (2p).

$A(3) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ și $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$, deci $A(3)\cdot A(1) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{pmatrix} = 19 I_2$.

Barem: $A(3)\cdot A(1) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{pmatrix}$ (3p); $= 19\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 19 I_2$ (2p).

$A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a+2 & 2 \\ 2 & -a-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -12 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

Barem: $A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a+2 & 2 \\ 2 & -a-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -12 \end{pmatrix}$ (3p); $= 2\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$ (2p).

$\det(A(a)) = (a+2)(a-6) - 2\cdot 2 = a^2 - 4a - 12 - 4 = a^2 - 4a - 16$. Ecuația $a^2 - 4a - 16 = -20$ devine $a^2 - 4a + 4 = 0$, adică $(a - 2)^2 = 0$, deci $a = 2$.

Barem: $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{vmatrix} = a^2 - 4a - 16$, pentru orice număr real $a$ (3p); $a^2 - 4a - 16 = -20$, de unde obținem $a = 2$ (2p).

$A(a^2) - A(a) = \begin{pmatrix} a^2 + 2 & 2 \\ 2 & a^2 - 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - a & 0 \\ 0 & a^2 - a \end{pmatrix}$. Condiția $A(a^2) - A(a) = 2 I_2$ dă $a^2 - a = 2$, adică $a^2 - a - 2 = 0$, deci $a = -1$ sau $a = 2$.

Barem: $A(a^2) - A(a) = \begin{pmatrix} a^2 - a & 0 \\ 0 & a^2 - a \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ (2p); $\begin{pmatrix} a^2 - a & 0 \\ 0 & a^2 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 2$ (3p).

$A(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -7 \end{pmatrix}$, deci $A(-1)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x - 7y \end{pmatrix}$. Egalitatea cu $\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix}$ conduce la sistemul $\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 2x - 7y = 9 \end{cases}$, cu soluția $x = 1$ și $y = -1$.

Barem: $A(-1)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x - 7y \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale (2p); $\begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x - 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 1$ și $y = -1$ (3p).