Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Logaritmi

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Logaritmul este un exponent

Logaritmul $\log_a b$ este exponentul la care ridici baza $a$ ca să obții $b$ .

\log_a b = c \;\Leftrightarrow\; a^{c} = b, \qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0

Sfat

Argumentul strict pozitiv

Înainte de orice calcul verifică existența: $\log_a b$ are sens doar pentru $b > 0$ , cu baza pozitivă și diferită de 1. Expresiile $\log_2(-8)$ și $\log_2 0$ nu există.

Formulă

Cele trei proprietăți

Logaritmul transformă operațiile cu o treaptă mai jos: produsul în sumă, câtul în diferență, puterea în înmulțire.

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad \log_a x^{n} = n \log_a x

Sfat

Capcana sumei

Nu desface $\log_a(x + y)$ : logaritmul sumei NU este suma logaritmilor. Doar produsul devine sumă: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ .

Formulă

Schimbarea bazei

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Alege baza $c$ în care AMBELE numere sunt puteri cunoscute: logaritmul devine o fracție de întregi.

Idee

Logaritmarea simplifică

Logaritmarea unei egalități cu membri pozitivi coboară exponenții în față și transformă produsele în sume: instrumentul de calcul al întregii lecții.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.1din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Arătați că $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5$ .

Vezi rezolvarea

$\lg 100 = 2$ , deci $2\lg 100 = 4$ . Cum $\lg 2 + \lg 5 = \lg(2\cdot 5) = \lg 10 = 1$ , obținem $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 4 + 1 = 5$ .

Subiectul II.6din BAC Matematică M_pedagogic - iunie 2024 (Varianta 10) · 5 puncte

Pe mulțimea $M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + 1$ . Determinați $x \in (1, +\infty)$ pentru care $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \dfrac{7}{2}$ .

Vezi rezolvarea

Notăm $t = \log_2 x$ ; cum $x \in (1, +\infty)$ , avem $t > 0$ și $\log_x 2 = \dfrac{1}{t}$ . Atunci $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{1/t} + 1 = \dfrac{1}{t} + t + 1$ . Ecuația $\dfrac{1}{t} + t + 1 = \dfrac{7}{2}$ devine $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}$ , adică $2t^2 - 5t + 2 = 0$ , deci $t = 2$ sau $t = \dfrac{1}{2}$ . Rezultă $\log_2 x = 2$ , deci $x = 4$ , sau $\log_2 x = \dfrac{1}{2}$ , deci $x = \sqrt{2}$ , ambele în $(1, +\infty)$ .

Toate lecțiile de Matematică

Logaritmi

Pe scurt

Logaritmul este un exponent

Argumentul strict pozitiv

Cele trei proprietăți

Capcana sumei

Schimbarea bazei

Logaritmarea simplifică

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.