Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Numere complexe

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Forma algebrică

Orice număr complex se scrie $z=a+bi$ , cu $a$ partea reală și $b$ partea imaginară.

i^{2}=-1

Sfat

Puterile lui i

Puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4: $i,\ -1,\ -i,\ 1$ . Pentru $i^{n}$ , împarte $n$ la 4 și păstrează doar restul.

Formulă

Produsul cu conjugatul

Produsul unui număr complex cu conjugatul său este mereu real și nenegativ.

z\cdot\bar{z}=a^{2}+b^{2}

Sfat

Împărțirea numerelor complexe

Ca să împarți două numere complexe, amplifică mereu cu conjugatul numitorului: numitorul devine numărul real $a^{2}+b^{2}$ .

Idee

Adunarea este un paralelogram

Numerele complexe se adună ca vectorii: $z_{1}+z_{2}$ este diagonala paralelogramului, iar înmulțirea cu un număr real doar alungește sau întoarce vectorul.

Formulă

Modulul este o distanță

Modulul lui $z=a+bi$ este distanța de la origine la punctul $M(a,b)$ .

|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Formulă

Rădăcini complexe conjugate

Când $\Delta<0$ , ecuația $ax^{2}+bx+c=0$ cu coeficienți reali are rădăcini complexe conjugate.

x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

Sfat

Bipătrata se îmblânzește

La $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ , notează $t=x^{2}$ , rezolvă ecuația de gradul II în $t$ , apoi întoarce-te la $x$ ; pentru $t<0$ , soluțiile sunt $x=\pm i\sqrt{-t}$ .

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul I.1din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră numărul complex $z = 3 - i$ . Arătați că $z(z + 2i) = 10$ .

Vezi rezolvarea

$z + 2i = 3 - i + 2i = 3 + i$ , deci $z(z + 2i) = (3 - i)(3 + i) = 3^{2} - i^{2} = 9 - (-1) = 10$ .

Subiectul I.1din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră numerele complexe $z_{1} = 1 - i$ și $z_{2} = 2 + i$ . Arătați că $2z_{1} + iz_{2} = 1$ .

Vezi rezolvarea

$2z_{1} = 2 - 2i$ și $iz_{2} = i(2 + i) = 2i + i^{2} = 2i - 1$ , deci $2z_{1} + iz_{2} = 2 - 2i + 2i - 1 = 1$ .

Subiectul I.1din BAC Matematică M_mate-info - iunie 2023 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră numărul complex $z = 3 + i$ . Arătați că $z(z - 2i) = 10$ .

Vezi rezolvarea

$z(z - 2i) = (3 + i)\big((3 + i) - 2i\big) = (3 + i)(3 - i) = 3^{2} - i^{2} = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$ .

Subiectul I.1din Simulare Matematică M_mate-info — Model BAC · 5 puncte

Se consideră numerele complexe $z_1 = 4 + i$ și $z_2 = 2 - 4i$ . Arătați că $i \cdot z_1 + z_2 = 1$ .

Vezi rezolvarea

$i\cdot z_1 = i(4+i) = 4i + i^2 = -1 + 4i$ . Atunci $i\cdot z_1 + z_2 = (-1 + 4i) + (2 - 4i) = 1$ .

Toate lecțiile de Matematică

Numere complexe

Pe scurt

Forma algebrică

Puterile lui i

Produsul cu conjugatul

Împărțirea numerelor complexe

Adunarea este un paralelogram

Modulul este o distanță

Rădăcini complexe conjugate

Bipătrata se îmblânzește

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.