Simulare Matematică M_mate-info — Model BAC

$i\cdot z_1 = i(4+i) = 4i + i^2 = -1 + 4i$. Atunci $i\cdot z_1 + z_2 = (-1 + 4i) + (2 - 4i) = 1$.

Barem: $i\cdot z_1 = 4i + i^2 = -1 + 4i$ (3p); adună $z_2 = 2 - 4i$ și obține $i\cdot z_1 + z_2 = 1$ (2p).

$A(a,5)$ aparține graficului $\iff f(a) = 5 \iff a^2 - 3a + 5 = 5 \iff a^2 - 3a = 0 \iff a(a-3)=0$. Deci $a = 0$ sau $a = 3$.

Barem: condiția $f(a)=5$ conduce la $a^2 - 3a = 0$ (3p); rezolvă și obține $a = 0$ sau $a = 3$ (2p).

Condiții de existență: $x>0$, $x\neq 1$, $7x-5>0$. Cum $\dfrac{1}{\log_x 6} = \log_6 x$, ecuația devine $\log_6(7x-5) = \log_6(x+1) + \log_6 x = \log_6\big(x(x+1)\big)$, deci $7x-5 = x^2 + x$, adică $x^2 - 6x + 5 = 0$, cu soluțiile $x=1$ și $x=5$. Cum $x \neq 1$, rămâne $x = 5$.

Barem: folosește $\frac{1}{\log_x 6} = \log_6 x$, deci ecuația devine $\log_6(7x-5) = \log_6(x^2+x)$, de unde $7x-5 = x^2+x$, adică $x^2 - 6x + 5 = 0$ (3p); $x=1$ nu convine (condiții de existență), $x=5$ convine (2p).

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile. Multiplii impari ai lui $9$ cuprinși între $10$ și $99$ sunt $27, 45, 63, 81, 99$, adică $5$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{18}$.

Barem: numerele naturale de două cifre sunt $90$ (cazuri posibile) (2p); multiplii impari de $9$ de două cifre sunt $27, 45, 63, 81, 99$ (5 cazuri favorabile), deci $p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ (3p).

Panta dreptei $OB$ (cu $O(0,0)$, $B(2,4)$) este $m_{OB} = \dfrac{4-0}{2-0} = 2$. Panta dreptei $AC$ (cu $A(2,0)$, $C(5,a)$) este $m_{AC} = \dfrac{a-0}{5-2} = \dfrac{a}{3}$. Dreptele sunt paralele $\iff m_{OB} = m_{AC} \iff \dfrac{a}{3} = 2 \iff a = 6$.

Barem: $m_{OB} = 2$ (2p); $m_{AC} = \frac{a}{3}$ și din $m_{OB} = m_{AC}$ obține $a = 6$ (3p).

Cum $B$ este unghi al triunghiului, $\sin B > 0$, deci $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}$. Aria este $\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB\cdot BC\cdot \sin B}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \dfrac{3}{5} = 18$.

Barem: $\sin B = \frac{3}{5}$ (din $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$, $\sin B > 0$) (3p); $\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB\cdot BC\cdot \sin B}{2} = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \frac{3}{5} = 18$ (2p).

Dezvoltând după prima linie, $\det A = 0\cdot\big(0\cdot 0 - 0\cdot(-1)\big) - 0\cdot\big((-1)\cdot 0 - 0\cdot 0\big) + 1\cdot\big((-1)\cdot(-1) - 0\cdot 0\big) = 1$.

Barem: dezvoltă determinantul (regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie) (3p); obține $\det A = 1$ (2p).

Calculăm $B(x)\cdot A = \begin{pmatrix}-x & 0 & 1\\ -1 & -x & 0\\ 0 & -1 & -x\end{pmatrix}$. Atunci $A - B(x)\cdot A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-x & 0 & 1\\ -1 & -x & 0\\ 0 & -1 & -x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & 0 & 0\\ 0 & x & 0\\ 0 & 0 & x\end{pmatrix} = x I_3.$

Barem: calculează $B(x)\cdot A = \begin{pmatrix}-x&0&1\\-1&-x&0\\0&-1&-x\end{pmatrix}$ (3p); scade din $A$ și obține $A - B(x)\cdot A = x I_3$ (2p).

Cum $\det A = 1 \neq 0$, $A$ este inversabilă, cu $A^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$. Din $A\cdot C(x) = B(x)$ rezultă $C(x) = A^{-1}B(x) = \begin{pmatrix}0 & -1 & -x\\ x & 0 & -1\\ 1 & x & 0\end{pmatrix}$. Atunci $C(x) - C(y) = \begin{pmatrix}0 & 0 & y-x\\ x-y & 0 & 0\\ 0 & x-y & 0\end{pmatrix} = (y-x)A$.

Barem: determină $C(x) = A^{-1}B(x) = \begin{pmatrix}0&-1&-x\\x&0&-1\\1&x&0\end{pmatrix}$ (3p); calculează $C(x)-C(y) = \begin{pmatrix}0&0&y-x\\x-y&0&0\\0&x-y&0\end{pmatrix} = (y-x)A$ (2p).

$1*3 = 1^2\cdot 3 + 1\cdot 3^2 + 1 + 3 = 3 + 9 + 1 + 3 = 16$.

Barem: înlocuiește în lege $1*3 = 1^2\cdot3 + 1\cdot3^2 + 1 + 3$ (3p); $= 16$ (2p).

Pentru $x\neq 0$, $x*\dfrac{2}{x} = x^2\cdot\dfrac{2}{x} + x\cdot\dfrac{4}{x^2} + x + \dfrac{2}{x} = 2x + \dfrac{4}{x} + x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{3x^2+6}{x}$. Ecuația $\dfrac{3x^2+6}{x} = 9x$ devine $3x^2 + 6 = 9x^2$, deci $x^2 = 1$, adică $x = -1$ sau $x = 1$ (ambele nenule, convin).

Barem: $x*\frac{2}{x} = \frac{3x^2+6}{x}$ (3p); din $\frac{3x^2+6}{x} = 9x$ obține $x = -1$ sau $x = 1$, care convin (2p).

Observăm că $m*n = m^2n + mn^2 + m + n = (m+n)(mn+1)$. Ecuația $m*n = 1$ devine $(m+n)(mn+1) = 1$ cu $m,n\in\mathbb{Z}$, deci ambii factori sunt $1$ sau ambii $-1$. Dacă $m+n=1$ și $mn+1=1$, atunci $mn=0$ și, cu $m\le n$, obținem $(m,n)=(0,1)$. Dacă $m+n=-1$ și $mn+1=-1$, atunci $mn=-2$ și obținem $(m,n)=(-2,1)$.

Barem: $m*n = (m+n)(mn+1)$ (2p); din $(m+n)(mn+1)=1$, cu $m,n\in\mathbb{Z}$, $m\le n$, obține perechile $(0,1)$ și $(-2,1)$ (3p).

$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^3 - \ln x\cdot 3x^2}{x^6} = \dfrac{x^2 - 3x^2\ln x}{x^6} = \dfrac{1 - 3\ln x}{x^4}$, pentru orice $x\in(0,\infty)$.

Barem: aplică regula câtului $f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x^3 - \ln x\cdot 3x^2}{x^6}$ (3p); simplifică la $\frac{1-3\ln x}{x^4}$ (2p).

$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \dfrac{\ln x}{x^3} = 0$ (de exemplu, cu regula lui l'Hôpital: $\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{3x^2} = 0$). Deci dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Barem: $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^3} = 0$ (3p); asimptota orizontală spre $+\infty$ este dreapta $y = 0$ (2p).

$f'(x) = 0 \iff 1 - 3\ln x = 0 \iff x = \sqrt[3]{e}$. Pe $(0, \sqrt[3]{e}]$ avem $f'(x)\ge 0$ ($f$ crescătoare), iar pe $[\sqrt[3]{e}, \infty)$ avem $f'(x)\le 0$ ($f$ descrescătoare), deci $f$ are maxim în $x = \sqrt[3]{e}$, cu $f(\sqrt[3]{e}) = \dfrac{\ln\sqrt[3]{e}}{(\sqrt[3]{e})^3} = \dfrac{1/3}{e} = \dfrac{1}{3e}$. Cum $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty$ și $f$ este continuă, imaginea lui $f$ este $\left(-\infty, \dfrac{1}{3e}\right]$. Ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție pentru $m \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3e}\right]$.

Barem: $f'(x)=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{e}$, monotonia (f crește pe $(0,\sqrt[3]{e}]$, scade pe $[\sqrt[3]{e},\infty)$) (2p); $\lim_{x\to0^+}f=-\infty$, $f(\sqrt[3]{e})=\frac{1}{3e}$, continuitate, deci $m\in(-\infty, \frac{1}{3e}]$ (3p).

$f(x) - e^x = x^2 - 1$, deci $\displaystyle\int_1^4 (x^2-1)\,dx = \left(\dfrac{x^3}{3} - x\right)\Big|_1^4 = \left(\dfrac{64}{3} - 4\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = 18$.

Barem: $\int_1^4 (f(x)-e^x)dx = \int_1^4 (x^2-1)dx = \left(\frac{x^3}{3}-x\right)\big|_1^4$ (3p); $= \frac{64}{3}-4-\left(\frac{1}{3}-1\right) = 18$ (2p).

$f(x) - x^2 = e^x - 1$, deci $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{e^x-1}\,dx = \int_1^2 \dfrac{(e^x-1)'}{e^x-1}\,dx = \ln(e^x-1)\Big|_1^2 = \ln(e^2-1) - \ln(e-1) = \ln\dfrac{(e-1)(e+1)}{e-1} = \ln(e+1)$.

Barem: $\frac{e^x}{f(x)-x^2} = \frac{(e^x-1)'}{e^x-1}$, deci integrala $= \ln(e^x-1)\big|_1^2$ (3p); $= \ln(e^2-1)-\ln(e-1) = \ln(e+1)$ (2p).

Pentru orice $x\in[0,1]$, $e^x + x^2 \ge e^x > 0$, deci $\dfrac{x}{f(x)+1} = \dfrac{x}{e^x+x^2} \le \dfrac{x}{e^x} = xe^{-x}$. Atunci $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{f(x)+1}\,dx \le \int_0^1 xe^{-x}\,dx$. Integrând prin părți, $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx = \int_0^1 x\big(-e^{-x}\big)'\,dx = -e^{-x}(x+1)\Big|_0^1 = 1 - \dfrac{2}{e}$. Prin urmare $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{f(x)+1}\,dx \le 1 - \dfrac{2}{e}$.

Barem: $\frac{x}{f(x)+1} = \frac{x}{e^x+x^2} \le \frac{x}{e^x} = xe^{-x}$ pe $[0,1]$, deci $\int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx \le \int_0^1 xe^{-x}dx$ (3p); $\int_0^1 xe^{-x}dx = -e^{-x}(x+1)\big|_0^1 = 1-\frac{2}{e}$ (2p).