BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2024 (Varianta 10)

$\dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\right) = \dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{5}{6} = 2$.

Barem: $\dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\right)$ (2p); $= \dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{5}{6} = 2$ (3p).

$f(a) = 5a + 1$. Condiția $f(a) = 6$ devine $5a + 1 = 6$, adică $5a = 5$, deci $a = 1$.

Barem: $f(a) = 5a + 1$, pentru orice număr real $a$ (2p); $5a + 1 = 6$, de unde obținem $a = 1$ (3p).

Prin ridicare la pătrat, $4x + 1 = 9$, de unde $4x = 8$, deci $x = 2$. Verificând, $\sqrt{4\cdot 2 + 1} = \sqrt{9} = 3$, deci $x = 2$ convine.

Barem: $4x + 1 = 9$, de unde obținem $4x = 8$ (3p); $x = 2$, care convine (2p).

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile. Numerele din $A$ divizibile cu $20$ sunt $20$, $40$, $60$ și $80$, deci $4$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{4}{9}$.

Barem: mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile (2p); numerele din mulțimea $A$ care sunt divizibile cu $20$ sunt $20$, $40$, $60$ și $80$, deci $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{4}{9}$ (3p).

$BC = \sqrt{(11-8)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ și $AB = \sqrt{(8-2)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Cum $10 = 2\cdot 5$, obținem $AB = 2BC$.

Barem: $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ (2p); $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, deci $AB = 2BC$ (3p).

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ și $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Atunci $1 + \sin 30^\circ = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ și $2\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$, deci egalitatea este adevărată.

Barem: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (3p); $1 + \sin 30^\circ = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, $2\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$ (2p).

$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$, deci $\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - (-2)\cdot 0 = 2 - 0 = 2$.

Barem: $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$, deci $\det(A(1)) = 1\cdot 2 - (-2)\cdot 0$ (3p); $= 2 - 0 = 2$ (2p).

$A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2A(1)$.

Barem: $A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$ (3p); $= 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2A(1)$ (2p).

$A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & x-1 \\ -2x & 2+x \end{pmatrix}$, deci $\det(A(x) + xI_2) = 2x(2+x) - (x-1)(-2x) = 4x^2 + 2x$. Ecuația $4x^2 + 2x = 2$ devine $4x^2 + 2x - 2 = 0$, de unde $x = -1$ sau $x = \dfrac{1}{2}$.

Barem: $A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix} 2x & x-1 \\ -2x & 2+x \end{pmatrix}$ și $\det(A(x) + xI_2) = 4x^2 + 2x$, pentru orice număr real $x$ (3p); $4x^2 + 2x - 2 = 0$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = \dfrac{1}{2}$ (2p).

$1 \circ 3 = 2(1 + 3) - 1\cdot 3 - 4 = 8 - 3 - 4 = 1$.

Barem: $1 \circ 3 = 2(1 + 3) - 1\cdot 3 - 4$ (3p); $= 8 - 3 - 4 = 1$ (2p).

$y \circ x = 2(y + x) - yx - 4 = 2(x + y) - xy - 4 = x \circ y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. Deci legea de compoziție ,,$\circ$'' este comutativă.

Barem: $y \circ x = 2(y + x) - yx - 4$ (2p); $= 2(x + y) - xy - 4 = x \circ y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție ,,$\circ$'' este comutativă (3p).

$n \circ n = 2(n + n) - n\cdot n - 4 = 4n - n^2 - 4$. Inegalitatea $n \circ n \ge n - 2$ devine $4n - n^2 - 4 \ge n - 2$, adică $-n^2 + 3n - 2 \ge 0$, echivalent cu $n^2 - 3n + 2 \le 0$, deci $n \in [1, 2]$. Cum $n$ este număr natural, obținem $n = 1$ și $n = 2$.

Barem: $n \circ n = 4n - n^2 - 4$, pentru orice număr natural $n$ (2p); $4n - n^2 - 4 \ge n - 2 \iff -n^2 + 3n - 2 \ge 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 1$ și $n = 2$ (3p).

$f'(x) = \dfrac{(2x-1)'\cdot x^2 - (2x-1)\cdot(x^2)'}{x^4} = \dfrac{2x^2 - 2x(2x-1)}{x^4} = \dfrac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$, pentru $x \in (0, +\infty)$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{(2x-1)'\cdot x^2 - (2x-1)\cdot(x^2)'}{x^4} = \dfrac{2x^2 - 2x(2x-1)}{x^4}$ (3p); $= \dfrac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$ (2p).

$f(1) = \dfrac{2\cdot 1 - 1}{1^2} = 1$ și, cum $f'(x) = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$, avem $f'(1) = 0$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 1$ este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = 1$.

Barem: $f(1) = 1$, $f'(1) = 0$ (2p); ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = 1$ (3p).

Cum $f'(x) = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$, avem $f'(x) = 0 \iff x = 1$. Pentru $x \in (0, 1]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(0, 1]$; pentru $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[1, +\infty)$.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = 1$; $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (0, 1]$, deci $f$ este crescătoare pe $(0, 1]$ (3p); $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este descrescătoare pe $[1, +\infty)$ (2p).

$(x^2 + x + 1)f(x) = (x^2 + x + 1)\cdot\dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1} = 2x + 1$, deci $\int_0^1 (x^2 + x + 1)f(x)\,dx = \int_0^1 (2x + 1)\,dx = (x^2 + x)\big|_0^1 = 1 + 1 - 0 = 2$.

Barem: $\int_0^1 (x^2 + x + 1)f(x)\,dx = \int_0^1 (2x + 1)\,dx = (x^2 + x)\big|_0^1$ (3p); $= 1 + 1 - 0 - 0 = 2$ (2p).

$\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx = \int_0^1 \dfrac{(x^2 + x + 1)'}{x^2 + x + 1}\,dx = \ln(x^2 + x + 1)\big|_0^1 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$.

Barem: $\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \dfrac{(x^2 + x + 1)'}{x^2 + x + 1}\,dx = \ln(x^2 + x + 1)\big|_0^1$ (3p); $= \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$ (2p).

$g(x) = e^{x}(x^2 + x + 1)f(x) = e^{x}(2x + 1)$, care este $\ge 0$ pe $[0, 1]$, deci $\mathcal{A} = \int_0^1 e^{x}(2x + 1)\,dx$. Integrând prin părți, $\mathcal{A} = e^{x}(2x + 1)\big|_0^1 - \int_0^1 2e^{x}\,dx = e^{x}(2x + 1)\big|_0^1 - 2e^{x}\big|_0^1 = (3e - 1) - (2e - 2) = e + 1$.

Barem: $g(x) = e^{x}(2x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$, deci $\mathcal{A} = \int_0^1 |g(x)|\,dx = \int_0^1 e^{x}(2x + 1)\,dx = e^{x}(2x + 1)\big|_0^1 - \int_0^1 2e^{x}\,dx$ (3p); $= e^{x}(2x + 1)\big|_0^1 - 2e^{x}\big|_0^1 = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1$ (2p).