Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

Semnul lui $f'$ este dat de $x^{2} - 1$, deci $f$ crește pe $(-\infty, -1)$, scade pe $(-1, 1)$ și crește pe $(1, +\infty)$, cu maximul local $f(-1) = \dfrac{1}{2}$ și minimul local $f(1) = -\dfrac{1}{2}$. Cum $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, dreapta $y = m$ taie graficul în trei puncte exact când $m$ este strict între cele două valori extreme, adică $m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$.

Inegalitatea cerută este echivalentă cu $f(x) \ge -6$ pe $(-\infty, 0]$. Pe acest interval $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$ se anulează în $-1$ și $0$, este negativă pe $(-\infty, -1)$ și pozitivă pe $(-1, 0)$, deci $f$ are minim în $x = -1$. Cum $f(-1) = 3 + 4 - 12 - 1 = -6$, avem $f(x) \ge -6$ pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, adică $3x^{4} + 5 \ge 4x^{3} + 12x^{2}$.

Împărțind inegalitatea cerută la $e^{x} > 0$, ea devine $-\dfrac{1}{e} \le f(x) \le \dfrac{1}{e^{3}}$. Pe $[1, 4]$, $f'(x) = \dfrac{3 - x}{e^{x}}$ este pozitivă pe $[1, 3]$ și negativă pe $[3, 4]$, deci $f$ crește până în $x = 3$ și scade după. Maximul este $f(3) = \dfrac{1}{e^{3}}$, iar minimul este cel mai mic dintre $f(1) = -\dfrac{1}{e}$ și $f(4) = \dfrac{2}{e^{4}}$, adică $-\dfrac{1}{e}$. Prin urmare $-\dfrac{1}{e} \le f(x) \le \dfrac{1}{e^{3}}$ pe $[1, 4]$.

Cum $f'(x) = 2(x-1)(e^{x}+1)$ și $e^{x} + 1 > 0$, avem $f'(x) = 0 \iff x = 1$, $f'(x) < 0$ pe $(-\infty, 1)$ și $f'(x) > 0$ pe $(1, +\infty)$. Deci $f$ scade pe $(-\infty, 1)$ și crește pe $(1, +\infty)$, cu minimul $f(1) = 3 - 2e < 0$. Cum $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, graficul intersectează axa $Ox$ în exact două puncte.