Teoremele lui Fermat și Rolle. Puncte de inflexiune

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$, atunci există $c \in (a,b)$ cu $f'(c)=0$.

Există un punct $c$ în care tangenta la grafic este orizontală, paralelă cu axa $Ox$.

Într-un punct de extrem INTERIOR în care funcția este derivabilă, derivata se anulează: $f'(x_0) = 0$. Reciproca nu este adevărată, deci punctele critice sunt doar candidați.

Inflexiunea cere ca $f''$ să SCHIMBE semnul, nu doar să se anuleze: pentru $f(x) = x^{4}$ derivata a doua se anulează în zero și rămâne pozitivă, deci graficul nu are inflexiune.

După ce verifici ipotezele, rezolvă $f'(c)=0$ și păstrează doar soluțiile din interiorul intervalului $(a,b)$.

Teorema garantează cel puțin un punct $c$, nu exact unul: reține toate soluțiile interioare ale lui $f'(c)=0$.

Două rădăcini $a < b$ ar da, prin Rolle, un punct $c$ cu $f'(c)=0$. Dacă $f' \neq 0$ peste tot, contradicție: ecuația are cel mult o rădăcină.

Unicitatea vine din Rolle, existența din continuitate: $f(a) < 0 < f(b)$ garantează o rădăcină în $(a,b)$.