BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2025 (Varianta 1)

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 - 2}{10} = \dfrac{3}{10}$, deci $3\cdot\dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{10}$. Atunci $\dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{10} = 1$.

Barem: $\dfrac{1}{10} + 3\cdot\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{1}{10} + 3\cdot\dfrac{3}{10}$ (3p); $= \dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{10} = 1$ (2p).

$f(2) = 6\cdot 2 - 3 = 9$ și $f(0) = -3$. Din $9 = a - 3$ obținem $a = 12$.

Barem: $f(2) = 9$, $f(0) = -3$ (2p); $9 = a - 3$, de unde obținem $a = 12$ (3p).

Funcția exponențială de bază $5$ fiind injectivă, ecuația este echivalentă cu $2x = 3 - x$, adică $3x = 3$, deci $x = 1$.

Barem: $2x = 3 - x$ (3p); $x = 1$ (2p).

Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci $10$ cazuri posibile. Inegalitatea $6n > 25$ este echivalentă cu $n > \dfrac{25}{6}$, adică $n \ge 5$, verificată de $n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$, adică $5$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.

Barem: mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2p); în mulțimea $A$ sunt $5$ numere $n$ pentru care $6n > 25$, deci sunt $5$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ (3p).

$BC = \sqrt{(6 - 2)^{2} + (4 - 1)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$ și $AB = \sqrt{(2 - 2)^{2} + (1 - 0)^{2}} = 1$. Din $BC = a\cdot AB$ obținem $a = 5$.

Barem: $BC = 5$ (2p); $AB = 1$ și, cum $BC = 5 \cdot AB$, obținem $a = 5$ (3p).

Din $MN = 4\cdot MP$ și $MN = 8$ obținem $MP = 2$. Triunghiul fiind dreptunghic în $M$, catetele sunt $MN$ și $MP$, deci aria este $\dfrac{MN \cdot MP}{2} = \dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8$.

Barem: $MP = 2$ (2p); $\mathcal{A}_{MNP} = \dfrac{MN \cdot MP}{2} = \dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8$ (3p).

$\det A = 5\cdot 1 - 2\cdot 2 = 5 - 4 = 1$.

Barem: $\det A = 5\cdot 1 - 2\cdot 2$ (3p); $= 5 - 4 = 1$ (2p).

$3A = \begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ și $5I_{2} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$, deci $3A - 5I_{2} = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$. Cum $2B = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$, egalitatea $3A - 5I_{2} = xB$ dă $x = 2$.

Barem: $3A - 5I_{2} = \begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} = 2B$ (3p); $2B = xB$, de unde obținem $x = 2$ (2p).

$B - A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, deci $A\cdot(B - A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $A\cdot(B - A) + xI_{2} = \begin{pmatrix} 2 + x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, al cărui determinant este $x(2 + x) - 1 = x^{2} + 2x - 1$. Inecuația $x^{2} + 2x - 3 \le 0$ are rădăcinile $-3$ și $1$, deci soluția este $x \in [-3, 1]$.

Barem: $A\cdot(B - A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $A\cdot(B - A) + xI_{2} = \begin{pmatrix} 2 + x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$ și $\det\big(A\cdot(B - A) + xI_{2}\big) = x^{2} + 2x - 1$, pentru orice număr real $x$ (3p); $x^{2} + 2x - 1 \le 2$, deci $x^{2} + 2x - 3 \le 0$, de unde obținem $x \in [-3, 1]$ (2p).

Pentru $m = 1$, $f = X^{3} - 3X^{2} + X + 1$, deci $f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$.

Barem: $f = X^{3} - 3X^{2} + X + 1$, deci $f(1) = 1^{3} - 3\cdot 1^{2} + 1 + 1$ (3p); $= 1 - 3 + 1 + 1 = 0$ (2p).

Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$ și $x_{1}x_{2}x_{3} = -m$. Condiția devine $2\cdot 3 = 1 - m$, adică $6 = 1 - m$, deci $m = -5$.

Barem: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$, $x_{1}x_{2}x_{3} = -m$, deci $2\cdot 3 = 1 - m$ (3p); $m = -5$ (2p).

Conform teoremei restului, restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $f(2) = 8 - 12 + 2 + m = -2 + m$, deci $-2 + m = -5$ și $m = -3$. Atunci $f = X^{3} - 3X^{2} + X - 3 = X^{2}(X - 3) + (X - 3) = (X - 3)\left(X^{2} + 1\right)$, deci $X^{2} + 1$ divide $f$.

Barem: $f(2) = -2 + m$, deci $-2 + m = -5$, de unde obținem $m = -3$ (3p); $f = X^{3} - 3X^{2} + X - 3 = (X - 3)\left(X^{2} + 1\right)$, de unde rezultă că polinomul $f$ este divizibil cu $X^{2} + 1$ (2p).

Cu regula câtului, $f'(x) = \dfrac{(x - 2)'e^{x} - (x - 2)\left(e^{x}\right)'}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \dfrac{e^{x} - (x - 2)e^{x}}{e^{2x}} = \dfrac{1 - x + 2}{e^{x}} = \dfrac{3 - x}{e^{x}}$.

Barem: $f'(x) = \dfrac{e^{x} - (x - 2)e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$ (3p); $= \dfrac{e^{x}(1 - x + 2)}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \dfrac{3 - x}{e^{x}}$, $x \in \mathbb{R}$ (2p).

$f(0) = \dfrac{0 - 2}{1} = -2$ și $f'(0) = \dfrac{3 - 0}{1} = 3$. Ecuația tangentei în punctul $(0, -2)$ este $y + 2 = 3(x - 0)$, adică $y = 3x - 2$.

Barem: $f(0) = -2$, $f'(0) = 3$ (2p); ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = 3x - 2$ (3p).

Împărțind inegalitatea cerută la $e^{x} > 0$, ea devine $-\dfrac{1}{e} \le f(x) \le \dfrac{1}{e^{3}}$. Pe $[1, 4]$, $f'(x) = \dfrac{3 - x}{e^{x}}$ este pozitivă pe $[1, 3]$ și negativă pe $[3, 4]$, deci $f$ crește până în $x = 3$ și scade după. Maximul este $f(3) = \dfrac{1}{e^{3}}$, iar minimul este cel mai mic dintre $f(1) = -\dfrac{1}{e}$ și $f(4) = \dfrac{2}{e^{4}}$, adică $-\dfrac{1}{e}$. Prin urmare $-\dfrac{1}{e} \le f(x) \le \dfrac{1}{e^{3}}$ pe $[1, 4]$.

Barem: $f'(x) = 0 \iff x = 3$; $f'(x) \ge 0$ pe $[1, 3]$, deci $f$ este crescătoare, și $f'(x) \le 0$ pe $[3, 4]$, deci $f$ este descrescătoare (2p); $f(1) = -\dfrac{1}{e}$, $f(3) = \dfrac{1}{e^{3}}$ și $f(4) = \dfrac{2}{e^{4}}$, deci $-\dfrac{1}{e} \le f(x) \le \dfrac{1}{e^{3}}$ pentru orice $x \in [1, 4]$, de unde obținem $-e^{x - 1} \le x - 2 \le e^{x - 3}$ (3p).

$f(x) - x^{2} - 8 = 4x$, deci $\displaystyle\int_{0}^{1} 4x\, dx = 2x^{2}\Big|_{0}^{1} = 2$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(f(x) - x^{2} - 8\right)dx = \int_{0}^{1} 4x\, dx = 2x^{2}\Big|_{0}^{1}$ (3p); $= 2 - 0 = 2$ (2p).

$f(x) - 4x = x^{2} + 8$, deci integrandul este $\dfrac{x}{x^{2} + 8} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^{2} + 8\right)'}{x^{2} + 8}$. O primitivă este $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2} + 8\right)$, iar integrala este $\dfrac{1}{2}\big(\ln 72 - \ln 8\big) = \dfrac{1}{2}\ln 9 = \ln 3$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{8}\dfrac{x}{f(x) - 4x}\, dx = \int_{0}^{8}\dfrac{x}{x^{2} + 8}\, dx = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{8}\dfrac{\left(x^{2} + 8\right)'}{x^{2} + 8}\, dx = \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2} + 8\right)\Big|_{0}^{8}$ (3p); $= \dfrac{\ln 72}{2} - \dfrac{\ln 8}{2} = \ln 3$ (2p).

$f(x) - 4 = x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$, deci $\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{1}{(x + 2)^{2}}\, dx = -\dfrac{1}{x + 2}\Big|_{0}^{a} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{a + 2}$. Din $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{a + 2} = \dfrac{1}{4}$ obținem $\dfrac{1}{a + 2} = \dfrac{1}{4}$, deci $a = 2$.

Barem: $\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{1}{f(x) - 4}\, dx = \int_{0}^{a}\dfrac{1}{(x + 2)^{2}}\, dx = -\dfrac{1}{x + 2}\Big|_{0}^{a} = -\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{2}$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ (3p); $-\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$, de unde obținem $a = 2$ (2p).