Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Derivata: definiție și calcul

Clasa a XI-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Derivata = panta tangentei

Derivata $f'(a)$ este panta tangentei la grafic în $(a, f(a))$ . Ecuația tangentei:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Formulă

Definiția derivatei

Derivata într-un punct este limita raportului incrementar când $h \to 0$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

Sfat

Colț = nederivabil

Dacă derivatele laterale diferă, graficul are un colț (ca $|x|$ în 0) și funcția NU este derivabilă acolo, chiar dacă este continuă.

Formulă

Regula puterii

Exponentul coboară ca factor, iar noul exponent scade cu 1:

(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}

Formulă

Tabelul derivatelor

Derivatele funcțiilor elementare, de reținut ca tabel:

\begin{array}{ll} (c)' = 0 & (x)' = 1 \\ (x^{n})' = n\,x^{n-1} & (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}} & (e^{x})' = e^{x} \\ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} & (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x & \end{array}

Formulă

Derivata de ordinul II

Derivezi de două ori la rând: $f \to f' \to f''$ .

f'' = (f')'

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.1.cdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = e^{x}\left(2x^{2} - 3x\right)$ .

Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

Vezi rezolvarea

Panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f'(a)$ , deci condiția este $f'(a) = e^{a}(2a + 3)(a - 1) = 0$ . Cum $e^{a} > 0$ pentru orice număr real $a$ , rămâne $(2a + 3)(a - 1) = 0$ , adică $a = -\dfrac{3}{2}$ sau $a = 1$ .

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2026 (Varianta 3) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} - 1$ .

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

$f(0) = -1$ și $f'(0) = 12\cdot 0\cdot 1\cdot(-2) = 0$ . Ecuația tangentei în punctul $(0, -1)$ este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ , adică $y = -1$ .

Subiectul III.1.cdin BAC Matematică M_șt-nat - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2} + x + 2}$ .

Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a, f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox$ .

Vezi rezolvarea

Tangenta este paralelă cu axa $Ox$ exact când panta ei este nulă, adică $f'(a) = 0$ . Numitorul fiind strict pozitiv pe $(0, +\infty)$ , condiția devine $-3a^{2} - a + 2 = 0$ , cu rădăcinile $a = -1$ și $a = \dfrac{2}{3}$ . Cum $a \in (0, +\infty)$ , rămâne $a = \dfrac{2}{3}$ .

Subiectul III.1.bdin BAC Matematică M_tehnologic - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x - 2}{e^{x}}$ .

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Vezi rezolvarea

$f(0) = \dfrac{0 - 2}{1} = -2$ și $f'(0) = \dfrac{3 - 0}{1} = 3$ . Ecuația tangentei în punctul $(0, -2)$ este $y + 2 = 3(x - 0)$ , adică $y = 3x - 2$ .

Toate lecțiile de Matematică

Derivata: definiție și calcul

Pe scurt

Derivata = panta tangentei

Definiția derivatei

Colț = nederivabil

Regula puterii

Tabelul derivatelor

Derivata de ordinul II

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.