Lecție pentru bacalaureat · Matematică

Bijectivitate și inversabilitate

Clasa a X-a

Ideile de bază pe scurt și, unde există, exercițiile din subiectele de BAC care le verifică. Lecția completă, animată, cu grile și exerciții corectate, e în aplicația Tomomi.

Pe scurt

Formulă

Criteriul de injectivitate

Injectivă: valori egale doar din argumente egale.

f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

Sfat

Testul dreptei orizontale

Plimbă o dreaptă orizontală peste grafic: dacă vreuna taie graficul de două sau mai multe ori, funcția nu este injectivă.

Formulă

Surjectivă: imagine plină

Surjectivă: fiecare element din codomeniu este atins de cel puțin o săgeată.

\mathrm{Im}\,f = B

Sfat

Codomeniul face parte din funcție

Aceeași formulă poate fi surjectivă sau nu, în funcție de codomeniul ales. Citește mereu $f:A \to B$ în întregime, nu doar formula.

Idee

Bijectivă înseamnă inversabilă

$f$ are inversă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa întoarce fiecare săgeată: $f^{-1}(y) = x$ exact când $f(x) = y$ .

Formulă

Rețeta inversei

Scrie $y = f(x)$ , exprimă $x$ în funcție de $y$ , apoi renotează variabila.

f(x) = 2x - 1 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}

Sfat

Oglinda din prima bisectoare

Graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de dreapta $y = x$ : punctul $(a, b)$ de pe graficul lui $f$ devine $(b, a)$ pe graficul inversei.

Din subiectele de BAC

Exerciții reale din subiectele anilor trecuți. Încearcă-le singur înainte să deschizi rezolvarea.

Subiectul III.1.cdin BAC Matematică M_mate-info - iunie 2025 (Varianta 1) · 5 puncte

Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + \ln\dfrac{x}{x + 2}$ .

Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Cum $f'(x) = \dfrac{2(x + 1)^{2}}{x(x + 2)} > 0$ pe $(0, +\infty)$ , funcția este strict crescătoare, deci injectivă. Apoi $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ , iar $f$ este continuă, deci imaginea ei este $\mathbb{R}$ , adică $f$ este surjectivă. Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă.

Toate lecțiile de Matematică

Bijectivitate și inversabilitate

Pe scurt

Criteriul de injectivitate

Testul dreptei orizontale

Surjectivă: imagine plină

Codomeniul face parte din funcție

Bijectivă înseamnă inversabilă

Rețeta inversei

Oglinda din prima bisectoare

Din subiectele de BAC

Începe azi. Bacul nu așteaptă.