BAC Fizică (Curent continuu + Optică) - iunie 2023 (Varianta 5)

Voltmetrul ideal are $R_V \to \infty$, deci prin circuit nu trece curent: $I = 0$. Tensiunea la bornele bateriei este $U = E - I r$, iar pentru $I = 0$ rezultă $U = E$: în gol, voltmetrul măsoară chiar tensiunea electromotoare. Răspunsul corect este d.

Item grilă: indicația unui voltmetru ideal legat la bornele unei baterii care funcționează în gol, dintre variantele: a) nenulă și mai mică decât t.e.m.; b) mai mare decât t.e.m.; c) nulă; d) egală cu t.e.m. Barem: 3 puncte pentru litera d (voltmetrul ideal nu lasă să treacă curent, deci I = 0 și U = E - I*r = E). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Puterea transferată consumatorului este $P = R I^{2} = \frac{E^{2} R}{(R+r)^{2}}$. Scriind numitorul ca $(R - r)^{2} + 4Rr$, obținem $P = \frac{E^{2}}{\frac{(R-r)^{2}}{R} + 4r}$, expresie maximă atunci când $R = r$ (condiția de adaptare). Înlocuind, $P_{\text{max}} = \frac{E^{2}}{4r}$. Răspunsul corect este a.

Item grilă: expresia puterii maxime transferate consumatorului de un generator cu t.e.m. E și rezistență interioară r, dintre variantele: a) E^2/(4r); b) E^2/(R+r); c) E^2/(2r); d) E^2/r. Barem: 3 puncte pentru litera a (puterea pe consumator P = E^2*R/(R+r)^2 este maximă la adaptare, R = r, când P = E^2/(4r)). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Puterea disipată pe un rezistor este $P = \frac{U^{2}}{R}$, de unde $\frac{U^{2}}{P} = R$. Mărimea căutată este chiar o rezistență electrică, măsurată în ohmi. Verificare dimensională: $\frac{\text{V}^{2}}{\text{W}} = \frac{\text{V}^{2}}{\text{V}\cdot\text{A}} = \frac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega$. Răspunsul corect este b.

Item grilă: unitatea de măsură în S.I. a mărimii U^2/P, dintre variantele: a) J; b) ohm; c) W; d) A. Barem: 3 puncte pentru litera b (din P = U^2/R rezultă U^2/P = R, deci ohm). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Sarcina transportată este aria de sub graficul $I-t$ pe intervalul considerat. Între $3\,\text{s}$ și $5\,\text{s}$ intensitatea este constantă, $I = 12\,\text{mA}$, deci $q = I \Delta t = 12 \cdot 10^{-3} \cdot 2 = 24 \cdot 10^{-3}\,\text{C} = 24\,\text{mC}$. Răspunsul corect este c.

Item grilă: sarcina transportată în intervalul [3 s; 5 s], citită din graficul I-t (creștere liniară de la 0 la 12 mA pe intervalul 0-2 s, apoi palier la 12 mA), dintre variantele: a) 5 mC; b) 10 mC; c) 24 mC; d) 40 mC. Barem: 3 puncte pentru litera c (pe intervalul cerut curentul este constant, I = 12 mA, deci q = IΔt = 12 mA 2 s = 24 mC; echivalent, aria de sub grafic pe acel interval). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Randamentul transferului de energie este $\eta = \frac{R}{R + r}$. Din prima situație: $0{,}75 = \frac{2}{2 + r}$, deci $2 + r = \frac{8}{3}$ și $r = \frac{2}{3}\,\Omega$. Pentru noul consumator: $\eta_2 = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5} = 60\%$. Rezistența internă rămâne aceeași, dar consumatorul mai mic „pierde” o fracțiune mai mare din energie pe interiorul sursei. Răspunsul corect este b.

Item grilă: noul randament de transfer după înlocuirea consumatorului de 2 ohmi (randament 75%) cu unul de 1 ohm, dintre variantele: a) 25%; b) 60%; c) 75%; d) 80%. Barem: 3 puncte pentru litera b (din eta1 = R1/(R1+r) = 0,75 rezultă r = 2/3 ohm; apoi eta2 = R2/(R2+r) = 1/(1+2/3) = 0,6). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Pe fiecare ramură rezistoarele sunt în serie: $R_{12} = R_1 + R_2 = 10 + 20 = 30\,\Omega$ și $R_{34} = R_3 + R_4 = 40 + 20 = 60\,\Omega$. Cele două ramuri sunt legate în paralel: $\frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60}$, deci $R_e = 20\,\Omega$.

Circuit cu două ramuri în paralel: R1 = 10 ohmi în serie cu R2 = 20 ohmi pe o ramură, R3 = 40 ohmi în serie cu R4 = 20 ohmi pe cealaltă. Cerința a: rezistența echivalentă a grupării. Barem: 1 punct pentru R12 = R1 + R2 = 30 ohmi; 1 punct pentru R34 = R3 + R4 = 60 ohmi; 1 punct pentru 1/Re = 1/R12 + 1/R34; 1 punct pentru rezultatul final Re = 20 ohmi. Total 4 puncte.

Cele două generatoare fiind montate în serie, gruparea are $E_e = 2E = 18\,\text{V}$ și $r_e = 2r = 4\,\Omega$. Legea lui Ohm pe întreg circuitul dă $I = \frac{E_e}{R_e + r_e} = \frac{18}{20 + 4} = 0{,}75\,\text{A}$.

Aceeași problemă (Re = 20 ohmi, două generatoare identice E = 9 V, r = 2 ohmi, montate în serie). Cerința b: intensitatea curentului prin generatoare. Barem: 1 punct pentru I = Ee/(Re + re); 1 punct pentru Ee = 2E = 18 V; 1 punct pentru re = 2r = 4 ohmi; 1 punct pentru rezultatul final I = 0,75 A. Total 4 puncte.

Notăm cu $I_1$ curentul prin ramura $R_1 - R_2$ și cu $I_2$ curentul prin ramura $R_3 - R_4$. Legea I a lui Kirchhoff dă $I = I_1 + I_2 = 0{,}75\,\text{A}$, iar cele două ramuri fiind în paralel au aceeași tensiune: $I_1 (R_1 + R_2) = I_2 (R_3 + R_4)$, adică $30 I_1 = 60 I_2$, deci $I_1 = 2 I_2$. Rezultă $I_2 = 0{,}25\,\text{A}$ și $I_1 = 0{,}5\,\text{A}$. Tensiunea căutată este $U_2 = I_1 R_2 = 0{,}5 \cdot 20 = 10\,\text{V}$.

Aceeași problemă (I = 0,75 A prin generatoare, ramurile R1 + R2 = 30 ohmi și R3 + R4 = 60 ohmi în paralel). Cerința c: tensiunea la bornele lui R2. Barem: 1 punct pentru U2 = I1R2; 1 punct pentru legea nodurilor I = I1 + I2; 1 punct pentru egalitatea tensiunilor pe cele două ramuri, I1(R1 + R2) - I2*(R3 + R4) = 0; 1 punct pentru rezultatul final U2 = 10 V. Total 4 puncte.

Ampermetrul ideal montat între A și B indică zero atunci când punctele A și B se află la același potențial, adică puntea este echilibrată. Căderile de tensiune pe rezistoarele „de sus” și pe cele „de jos” trebuie să fie în același raport: $R_1 R_4 = R_2 R_3$. Rezultă $R_4 = \frac{R_2 R_3}{R_1} = \frac{20 \cdot 40}{10} = 80\,\Omega$.

Aceeași problemă. Cerința d: valoarea rezistorului care înlocuiește R4 astfel încât ampermetrul ideal montat între A și B să indice zero (punte Wheatstone echilibrată). Barem: 2 puncte pentru condiția de echilibru R1R4 = R2R3 (echivalent: raportul R1/R2 = R3/R4, obținut din faptul că A și B sunt la același potențial); 1 punct pentru rezultatul final R4 = 80 ohmi. Total 3 puncte.

Puterea nominală a becului este $P_1 = \frac{U_1^{2}}{R_1}$, de unde $R_1 = \frac{U_1^{2}}{P_1} = \frac{80^{2}}{100} = \frac{6400}{100} = 64\,\Omega$.

Două becuri în serie la un generator cu E = 120 V și r = 16 ohmi; primul bec are P1 = 100 W și U1 = 80 V, ambele funcționând la valori nominale. Cerința a: rezistența primului bec. Barem: 2 puncte pentru relația P1 = U1^2/R1; 1 punct pentru rezultatul final R1 = 64 ohmi. Total 3 puncte.

Becurile fiind în serie, sunt parcurse de același curent: din $P_1 = U_1 I$ rezultă $I = \frac{100}{80} = 1{,}25\,\text{A}$. Legea lui Ohm pe întreg circuitul dă $I = \frac{E}{R_1 + R_2 + r}$, deci $R_1 + R_2 + r = \frac{120}{1{,}25} = 96\,\Omega$. Cu $R_1 = 64\,\Omega$ și $r = 16\,\Omega$ rezultă $R_2 = 96 - 64 - 16 = 16\,\Omega$.

Aceeași problemă (E = 120 V, r = 16 ohmi, R1 = 64 ohmi, P1 = 100 W, U1 = 80 V, becuri în serie). Cerința b: rezistența celui de-al doilea bec. Barem: 1 punct pentru P1 = U1*I, de unde I = 1,25 A (același curent prin becurile legate în serie); 1 punct pentru legea lui Ohm pe întreg circuitul I = E/(Re + r); 1 punct pentru Re = R1 + R2; 1 punct pentru rezultatul final R2 = 16 ohmi. Total 4 puncte.

Puterea disipată pe al doilea bec este $P_2 = R_2 I^{2} = 16 \cdot 1{,}25^{2} = 25\,\text{W}$. În $\Delta t = 2\,\text{min} = 120\,\text{s}$ energia consumată este $W_2 = P_2 \Delta t = 25 \cdot 120 = 3000\,\text{J} = 3\,\text{kJ}$.

Aceeași problemă (I = 1,25 A, R2 = 16 ohmi). Cerința c: energia consumată de al doilea bec în 2 minute. Barem: 2 puncte pentru P2 = I^2R2 = 25 W (legea Joule-Lenz); 1 punct pentru W2 = P2Δt cu Δt = 120 s; 1 punct pentru rezultatul final W2 = 3 kJ. Se penalizează folosirea lui Δt în minute. Total 4 puncte.

Puterea consumată în exterior este suma puterilor celor două becuri: $P_{\text{ext}} = P_1 + P_2 = 100 + 25 = 125\,\text{W}$. Puterea totală dezvoltată de generator este $P_{\text{total}} = E I = 120 \cdot 1{,}25 = 150\,\text{W}$. Raportul cerut (randamentul circuitului) este $\frac{P_{\text{ext}}}{P_{\text{total}}} = \frac{125}{150} = \frac{5}{6} \cong 0{,}83$.

Aceeași problemă (E = 120 V, I = 1,25 A, P1 = 100 W, P2 = 25 W). Cerința d: raportul dintre puterea circuitului exterior și puterea totală. Barem: 1 punct pentru Pext = P1 + P2 = 125 W; 2 puncte pentru Ptotal = E*I = 150 W; 1 punct pentru rezultatul final Pext/Ptotal = 5/6 ≈ 0,83 (echivalent 83%). Se acceptă și rezolvarea prin Pext/Ptotal = Re/(Re + r) = 80/96. Total 4 puncte.

La incidență normală unghiul de incidență este $i = 0°$. Legea reflexiei dă un unghi de reflexie tot nul, iar legea refracției $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ dă $r = 0°$. Raza reflectată se întoarce înapoi pe normală, iar raza refractată continuă înainte pe aceeași normală: cele două au sensuri opuse, deci unghiul dintre ele este $180°$. Răspunsul corect este d.

Item grilă: unghiul dintre raza reflectată și raza refractată la incidență normală, dintre variantele: a) 30 grade; b) 45 grade; c) 90 grade; d) 180 grade. Barem: 3 puncte pentru litera d (la incidență normală i = 0, deci și unghiul de reflexie și cel de refracție sunt nule: raza reflectată se întoarce pe direcția de venire, iar cea refractată continuă drept înainte, deci cele două sunt opuse). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Pentru lentile acolate convergențele se adună: $C = C_1 + C_2$, adică $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$. Rezultă $F = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$. Răspunsul corect este a.

Item grilă: distanța focală a unui sistem de două lentile acolate, dintre variantele: a) f1f2/(f1+f2); b) f1/f2; c) f1+f2; d) f1-f2. Barem: 3 puncte pentru litera a (convergențele se adună: 1/F = 1/f1 + 1/f2, de unde F = f1f2/(f1+f2)). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Frecvența este inversul perioadei: $\nu = \frac{1}{T}$. Perioada se măsoară în secunde, deci frecvența se măsoară în $\text{s}^{-1}$ (unitatea derivată poartă numele de hertz, $\text{Hz}$, dar exprimată în unități fundamentale este $\text{s}^{-1}$). Răspunsul corect este a.

Item grilă: unitatea de măsură a frecvenței exprimată în unități fundamentale S.I., dintre variantele: a) s^-1; b) m^-1; c) s^2; d) m*s. Barem: 3 puncte pentru litera a (frecvența este numărul de oscilații în unitatea de timp, nu = 1/T, deci s^-1; hertzul nu este unitate fundamentală). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Razele solare fiind paralele, stâlpul cu umbra sa și tija cu umbra sa formează triunghiuri asemenea (propagarea rectilinie a luminii). Rezultă $\frac{H}{\ell_{\text{umbră stâlp}}} = \frac{h}{\ell_{\text{umbră tijă}}}$, adică $\frac{H}{12} = \frac{0{,}25}{0{,}30}$, deci $H = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10\,\text{m}$. Răspunsul corect este b.

Item grilă: înălțimea unui stâlp dedusă din lungimea umbrei (umbra stâlpului 12 m, tijă de 25 cm cu umbră de 30 cm), dintre variantele: a) 8 m; b) 10 m; c) 12 m; d) 14 m. Barem: 3 puncte pentru litera b (propagarea rectilinie a luminii dă triunghiuri asemenea: H/12 = 0,25/0,30, deci H = 10 m). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Ecuația lui Einstein este $h\nu = L + E_{c,\text{max}}$. Lungimea de undă de prag este aceea la care energia cinetică maximă se anulează, deci valoarea la care curba din grafic intersectează axa: $\lambda_0 = 0{,}50\,\mu\text{m}$. Atunci $L = \frac{h c}{\lambda_0} = \frac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{0{,}5 \cdot 10^{-6}} = 3{,}96 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \cong 4 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Răspunsul corect este d.

Item grilă: lucrul mecanic de extracție citit din graficul Ec_max în funcție de lambda (curba se anulează la lambda_prag = 0,50 micrometri), dintre variantele: a) 1e-19 J; b) 2e-19 J; c) 3e-19 J; d) 4e-19 J. Barem: 3 puncte pentru litera d (la lungimea de undă de prag Ec_max = 0, deci L = hc/lambda_prag = 6,6e-34 3e8 / 0,5e-6 ≈ 3,96e-19 J, adică aproximativ 4e-19 J). 0 puncte pentru orice altă literă, fără punctaj parțial.

Mărirea liniară transversală este $\beta = \frac{y_2}{y_1}$. Imaginea se formează pe un ecran, deci este reală și răsturnată: $y_2 = -20\,\text{mm}$. Rezultă $\beta = \frac{-20}{5} = -4$.

Obiect liniar de 5 mm, imagine clară pe un ecran aflat la d = 100 cm de obiect, imaginea având 20 mm. Cerința a: mărirea liniară transversală. Barem: 3 puncte pentru relația beta = y2/y1; 1 punct pentru rezultatul final beta = -4. Semnul minus este obligatoriu (imaginea captată pe ecran este reală, deci răsturnată).

Din $\beta = \frac{x_2}{x_1} = -4$ rezultă $x_2 = -4 x_1$. Distanța obiect-ecran este $-x_1 + x_2 = d$, deci $-x_1 - 4x_1 = 100$, de unde $x_1 = -20\,\text{cm}$ și $x_2 = 80\,\text{cm}$. Formula lentilelor subțiri dă $\frac{1}{f} = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{80} + \frac{1}{20} = \frac{5}{80}$, deci $f = 16\,\text{cm}$.

Aceeași problemă (beta = -4, distanța obiect-ecran d = 100 cm). Cerința b: distanța focală. Barem: 1 punct pentru formula lentilelor subțiri 1/x2 - 1/x1 = 1/f; 1 punct pentru relația -x1 + x2 = d; 1 punct pentru beta = x2/x1; 1 punct pentru rezultatul final f = 16 cm (x1 = -20 cm, x2 = 80 cm). Total 4 puncte.

Desenăm o lentilă convergentă, axa optică principală și focarele $F$ și $F^{\prime}$ la $16\,\text{cm}$ de lentilă. Obiectul se află la $20\,\text{cm}$ în stânga lentilei, adică între $f$ și $2f$. Trasăm două raze principale: raza paralelă cu axa optică, care după lentilă trece prin focarul imagine, și raza care trece nedeviată prin centrul optic. Ele se intersectează la $80\,\text{cm}$ în dreapta lentilei, unde se formează imaginea reală, răsturnată și mărită de patru ori, adică exact în planul ecranului.

Aceeași problemă. Cerința c: construcția imaginii. Barem: 3 puncte pentru desenul corect - lentilă convergentă cu axa optică principală și focarele marcate, obiectul perpendicular pe axă dincolo de focar (x1 = -20 cm, f = 16 cm), cel puțin două raze principale trasate (raza paralelă cu axa care trece prin focarul imagine și raza prin centrul optic, nedeviată) și imaginea reală, răsturnată și mărită, obținută la intersecția razelor emergente, situată dincolo de dublul distanței focale. Se acordă punctajul integral doar dacă imaginea este reală și răsturnată; construcțiile cu lentilă divergentă sau cu imagine dreaptă nu primesc puncte.

Notăm cu $d$ distanța obiect-ecran. Din $-x_1 + x_2 = d$ și $\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{f}$ se obține ecuația de gradul al doilea $x_1^{2} + d\,x_1 + d f = 0$. Pentru ca lentila să poată forma o imagine clară, ecuația trebuie să aibă soluții reale: $d^{2} - 4 d f \geq 0$, adică $d \geq 4f$. Distanța minimă este $d_{\text{min}} = 4f = 4 \cdot 16 = 64\,\text{cm}$ (caz în care imaginea are aceeași mărime cu obiectul).

Aceeași problemă (f = 16 cm). Cerința d: distanța minimă obiect-ecran pentru care se poate obține o imagine clară. Barem: 1 punct pentru ecuația de gradul al doilea în x1: x1^2 + dx1 + df = 0 (obținută din formula lentilelor cu x2 = d + x1); 1 punct pentru condiția de existență a soluțiilor reale, d^2 - 4df >= 0; 1 punct pentru d_min = 4f; 1 punct pentru rezultatul final d_min = 64 cm. Total 4 puncte.

Minimele de interferență sunt situate la $x_k = (2k + 1)\frac{i}{2}$, cu $k = 0, 1, 2, \dots$. Al doilea minim corespunde lui $k = 1$: $x = \frac{3 i_1}{2} = 1{,}5 \cdot 1{,}0 = 1{,}5\,\text{mm}$.

Dispozitiv Young cu două radiații (lambda1 = 400 nm, i1 = 1,0 mm; lambda2 = 600 nm). Cerința a: distanța de la maximul central la al doilea minim pentru lambda1. Barem: 3 puncte pentru poziția minimelor, x_min = (2k+1)i/2, respectiv d = 1,5i1 pentru al doilea minim (k = 1); 1 punct pentru rezultatul final d = 1,5 mm. Total 4 puncte.

Interfranja este $i = \frac{\lambda D}{2\ell}$, deci pentru același dispozitiv este proporțională cu lungimea de undă: $\frac{i_2}{i_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{600}{400} = 1{,}5$. Rezultă $i_2 = 1{,}5 \cdot 1{,}0 = 1{,}5\,\text{mm}$.

Aceeași problemă (i1 = 1,0 mm pentru lambda1 = 400 nm). Cerința b: interfranja pentru lambda2 = 600 nm. Barem: 1 punct pentru i1 = lambda1D/(2l); 1 punct pentru i2 = lambda2D/(2l); 1 punct pentru rezultatul final i2 = 1,5 mm (i2/i1 = lambda2/lambda1). Total 3 puncte.

Maximele sunt situate la $x_k = k\,i$. Pentru prima radiație, maximul de ordinul 1 este la $x_1 = 1 \cdot i_1 = 1\,\text{mm}$, iar pentru a doua, maximul de ordinul 4 este la $x_2 = 4 \cdot i_2 = 4 \cdot 1{,}5 = 6\,\text{mm}$. Fiind de aceeași parte a maximului central, distanța dintre ele este $\Delta x = x_2 - x_1 = 5\,\text{mm}$.

Aceeași problemă (i1 = 1,0 mm, i2 = 1,5 mm). Cerința c: distanța dintre maximul de ordinul 1 al radiației lambda1 și maximul de ordinul 4 al radiației lambda2, de aceeași parte a maximului central. Barem: 1 punct pentru Δx = x2 - x1; 1 punct pentru x2 = 4i2 = 6 mm; 1 punct pentru x1 = 1i1 = 1 mm; 1 punct pentru rezultatul final Δx = 5 mm. Total 4 puncte.

Suprapunerea a două maxime cere $k_1 i_1 = k_2 i_2$, adică $k_1 \cdot 1{,}0 = k_2 \cdot 1{,}5$, deci $\frac{k_1}{k_2} = \frac{3}{2}$. Cele mai mici ordine întregi nenule sunt $k_1 = 3$ și $k_2 = 2$, iar poziția corespunzătoare este $x = 3 \cdot 1{,}0 = 3\,\text{mm}$ (măsurată de la franja centrală).

Aceeași problemă (i1 = 1,0 mm, i2 = 1,5 mm). Cerința d: distanța minimă față de franja centrală la care se suprapun maximele celor două radiații. Barem: 1 punct pentru x = k1i1; 1 punct pentru x = k2i2; 1 punct pentru cea mai mică pereche de numere întregi care satisface k1i1 = k2i2, adică k1 = 3 și k2 = 2; 1 punct pentru rezultatul final x = 3 mm. Total 4 puncte.